交叉系数决定合成法...

因原符号本网页不接受，换成另外的表示法，则面目全非。只好先删掉，另想办法，再发。

既然要讲“包含概率”，“认知误差量的分布规律”便是不可回避、必须要办的事！——办起来自然有点难，主要靠经验（包括前辈传授），有时也可能要“胆识”。

回避“认知误差量的分布规律”的必然结果——“包含概率”的含糊其辞！  说是“大于99%”，其实也说不清这“大于99%”如何得以保障？

预计的应用效果将是： “愚公”们苦心竭力“认知误差量的分布规律”，可能会“评估”出一个"误差（范围）”值Δ1，承诺“包含概率大于99%”；回避“认知误差量的分布规律”的“智瘦”们可能会“理直气壮”的“给”出一个值为3Δ1的“误差（范围）”，其“包含概率”是多少呢？也只能说“大于99%”，没有胆量说“大于99.9%”!

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                                 交叉系数决定合成法（5）
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                                                                                       史锦顺
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9 关于合成方法的主张
       误差合成，统一按“方根法”。对特定的误差种类，“方根法”分化为“均方根法”、“方和根法”、“绝对和法”、“混合法”。
       通常，测量仪器以系统误差为主。不能无视系统误差的存在。考虑到系统误差、随机误差都是客观存在，提出如下主张：
       1）随机误差序列，用“均方根法”，随机误差范围之间，用“方和根法”；
       2）随机误差范围与系统误差范围之间，用“方和根法”；
       3）有多项中小系统误差项，仅有一项大系统误差（或没有大系统误差），它们之间的交叉系数，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，这样，可以用“方和根法”。
       4）直接测量仅有两三项系统误差，要用“绝对和法”（适用于研制中确定仪器指标）；
       5）间接测量，仅有两三项测量仪器的误差范围，要用“绝对和法”；
       6）有多项误差，在两项或三项大系统误差之间用“绝对和法”，其余的各种处理，用“方和根法”。总称谓是“混合法”。

10 间接测量的误差合成例说
       间接测量由若干直接测量构成。各直接测量的误差，都是间接测量的误差因素。还加一些综合性因素。
       间接测量，要进行若干项分项误差的合成。
       设函数误差由以下8项误差构成：
       大系统误差项β1大、β2大
       小系统误差项β3小、β4小、β5小、β6小、
       随机误差项ξ7随、ξ8随

       注：
       分项系统误差的传递系数是函数对该自变量的偏微商。
       分项随机误差的传递系数是函数对该自变量的偏微商的3倍（包含概率99%）。
       本文中分项误差项的值，指单项误差与传递系数的乘积。

       函数误差元
                   Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy……   
                   Δf =β1大+β2 大  
                         +β3小+β4小+β5小+β6小
                         +3ξi7随+3ξi8随
       求“函数误差元的平方”的统计平均
                 [(1/N)∑Δfi?]
                     = (1/N)∑[β1大+β2大]
                      +β3小+β4小+β5 小+β6小
                       +3ξi7随+3βi8随]?
                R? = (1/N)∑[β1大?+2J大β1大β2大+β2大?
                         +β3小?+β4小?+β5小?+β6小?
                         +(3σ7 随)?+(3σ8随)?+其他交叉项]                             （24）
       大系统误差项的交叉系数J大等于+1或-1；因误差范围是误差元的最大可能值，故取+1。由此，大误差间取绝对和。其他交叉项的交叉因子，凡有随机误差项的，交叉因子为零。没有随机误差的，是系统误差之间的交叉系数，可以是+1，也可以是-1；由于交叉项的数量大，可认为正负项近似抵消，因而其他交叉项之和可略。

       合成误差范围公式
                 R =√[(R1大+R2大)?
                      +R3小?+R4小?+R5小?+R6小?
                      +(3σ7随)?+(3σ8随)?]                                                    （25）
       二、三项大系统误差间取“绝对和”；此“绝对和”与所有其他系统误差、随机误差范围之间，取方和根。
       由于测量仪器的误差范围，以系统误差为主，且因误差范围是误差元绝对值的一定概率（99%）意义上的最大可能值，因此某项直接测量的测量仪器误差范围指标值，视为间接测量的该项系统误差。
       当分项误差仅有一项大误差，或有4项以上大误差时，考虑交叉项的可能抵消作用，公式（10）变成纯“方和根”。

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全文完。欢迎批评！
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                     误差合成法公式推导中系统误差恒值的时间要求

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                                                                                                                                      史锦顺

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       误差是测得值与被测量真值的差距。

       误差元是测得值减真值。

       误差范围是误差元绝对值的一定概率（大于99%）意义上的最大可能值。

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       误差元，有随机的（在一场测量的N次测量中，大小符号都在变化），也有恒值的。这是误差量的性质。按性质，误差被划分为为随机误差和系统误差。

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       测得值是测量机制中，各种因素共同构成的结果。函数的误差，取决于各个分项误差。

       推导误差合成法的公式，要根据各分项误差的作用机理。误差合成法必须符合误差的性质，反映误差的性质。

       现代误差理论一律地取“方和根”，忽视了误差性质上的不同。交叉系数理论给出的结果是，合成法取决于误差的性质或系统误差的数量，这就反应了误差性质的不同。

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       测量量值的方式，是测量N次取平均。这个统计平均时间称“统计时间”。

       讨论误差合成公式时，所认定的分项误差的性质，是指“统计时间”内的性质。

       误差合成法公式推导中系统误差恒值的时间要求，是统计时间。

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       有人说，系统误差就长期来说并不是恒值。是的，使用的恰当，物尽其用，系统误差的变化有接近误差范围指标值的。如频率计准确度指标是5E-8，频率源是高稳晶振，如果此晶振的老化规律稳定、精确测得其日老化率为+2e-10，，则校频时，可置晶振的频率为-4E-8，一年内变化到不超过+4E-8，这样可使频率计有5E-8的准确度指标。而计量时把频率精确地调准到1E-10，而一年内可能达到+7E-8，反而超标了。

       这样的系统误差变化，是笔者多次面对的。笔者所说的“恒值”，从来没说过它永久不变。

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       那么在“交叉系数决定合成法”的公式推导中，要求“系统误差保持恒值”的时段是多大呢？仅仅是统计平均时间，就是一场N次测量所用的时间，大致是几分钟到几小时。在这短短的时段内，“系统误差保持恒值”这一点，是没有问题的！

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       系统误差的长时间后的变化，不影响关于“交叉系数决定合成法”的道理。因为决定误差大小的，是统计时间内的误差量的性质。在统计时间内，随机误差大小符号都在变化，20个（或100个）随机误差元在交叉项中，相互抵消，随机误差间合成，随机误差与一项系统误差合成，交叉系数都近于零，误差可取方和根。两项系统误差合成，在统计时间内，两个系统误差都是恒值，由它们决定的交叉系数，是+1或-1。就是说，是绝对和，或者是绝对差。误差范围的定义是误差元绝对值的最大可能值，因此交叉系数要取+1，合成方法应是绝对和。

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敬佩史先生的执着精神！

可惜本篇长论似乎未现真珠？

若是不计较“包含概率”的确切值【——大于99.xx%就好，不计较‘大于’的代价！】，那么，现有“误差理论”【譬如费业泰先生著作】对“误差（范围）”的“合成”方法已然描述清楚，此篇或未现长处。

长篇难如先生期许效用的“症结”或在：误解了所谓“系统（测量）误差”的本性！  以它与所谓“随机（测量）误差”配对，将其归入了“非随机”量（确定量？）之列，以致在“推导”中将其【——所谓“系统（测量）误差”】样本值（“合成”时未知！）与“范围”值混为一谈，得到有些牵强附会的“结论”。.....诚如本论坛的叶先生所言，所谓的“（未定）系统（测量）误差”也是一个“不确定量”【——“随机量”！】，因此才要关注它的“范围”值！(附言：本人不赞成叶先生全盘否定“误差分类”效用的观点！）

若是计较“包含概率”的确切值【——不是大于99.xx%就好，要计较‘大于’的代价！追求“刚好达到”约定的99.xx%】，便应积极响应“不确定度”评估中所提诸法（当然，也包括积极针砭其可能存在的缺点）！

而“相关性”问题，则是新、老处理办法都不能“回避”的！ 可以据“理”简化处理，不能换个“名字”敷衍行事。

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                      交叉系数决定合成法（2）
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                                                                                                             史锦顺
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2 随机误差元构成的误差范围
       对随机误差序列的处理，误差理论两百年前已有“方均根法”，成熟而完美。
       测量实践中，人们易于认识随机误差。对常量的重复测量中，测得值的随机变化量就是随机误差。
       随机误差元可大可小，可正可负。有四个特性：单峰性、对称性、抵消性、有界性。
       按统计理论，随机误差是正态分布（在测量次数N不远大于10时，有t分布成分）。以3σ为半宽的分布区间，包含概率大于99%。
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       对随机误差，有如下定义与关系：
       1）随机误差元等于测得值减测得值的期望值（当无系统误差时，测得值的期望值是真值）。随机误差元的期望值是零。随机误差元为：
                  ξi = Xi - EX                                                              （1）
       2）标准误差定义为
                  σ = √(1/N)∑ξi?   
                     = √(1/N)∑(Xi-EX)?                                                （2）
       3）贝塞尔公式是用测得值的平均值代换（2）式中的期望值，得到：
                  σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]?}                                        （3）
       4）随机误差范围
                  R(随) = 3σ=3√(1/N)∑ξi?
                        =√(1/N)∑(3ξi)?                                                  （4）
       5）由公式（4），有：
                  R(随) =3σ= σ(3ξ)                                                        （5）
       如（2）、（3），σ是随机误差元标准误差。
       如（5），3σ、σ(3ξ) 是随机误差范围。
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       以3ξ为随机误差元，其对误差范围的权重为1，与系统误差元权重相同。 因而以3ξ为随机误差元，就可以同系统误差等权地进行误差合成。这是方根法的“一从众”。      
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3 单项系统误差元构成的误差范围
       系统误差元用β表示。β是或正或负的恒值。
       单个系统误差构成的误差范围
                  R(系) =√{(1/N)∑(βi)?}  =√(β?)
                           = |β|                                                                （6）
       单个系统误差对误差范围的贡献值是该系统误差的绝对值。
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误差合成法公式推导中系统误差恒值的时间要求，是统计时间。

如何知道统计时间内恒值是正、是负、是大、是小、是多少，测量出来了吗？若测量出来已知恒值是多少，njlyx说了：便可以直接代入{Y=f（X)}折算得到相应的输出“误差”（分）量值（不是“范围”值！），根本没有取“方和根”还是“绝对和”的问题！！！。若没有测量出来不知道恒值在多少，就只能知道是在一个区间内，分布、相关性是必须要考虑的。

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                            交叉系数决定合成法（4）
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                                                                                   史锦顺
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6 随机误差间合成的交叉系数
       对随机误差的合成，ΔX是ξx, 代换为[X-X平]；ΔY是ξy，代换为[Y-Y平]，有：
                J =[1/(N-1)]∑(Xi-X平)(Yi-Y平) / (σΔX σΔY)                        （16）
       由于ξx、ξy是随机误差，可正可负，可大可小，有对称性与有界性，多次测量，是大量的，因此，随机误差间的合成的交叉系数为零（或可以忽略）。（15）式是当前不确定度论引用的统计理论的相关系数公式。这个公式对随机误差是对的；对系统误差，不成立。
       随机误差合成，（14）成立。即随机误差的合成公式是“方和根”：
               RΔf = √ (RΔX?+RΔY?)                                                     （14）
               σΔf = √[σΔx?+ σΔy?]                                                    （14.1）

7 随机误差与系统误差合成的交叉系数
       两个分项误差，一个是随机的，记为ξ，考虑到对误差范围的权重，取单元量为3ξ（对应ΔX）；一个是系统的（重复测量中不变），记为β（对应ΔY）。
       代入公式（13），有
                 J =(1/N)(∑3ξiβ) / [R(3ξ) R(β)]                   
       系统误差元β是恒值，可以提出来，有
                 J =(1/N) (3β∑ξi) / [R(3ξ) R(β)]                                         （17）
       大量重复测量（例如N=20，N不得小于10）中，（17）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似为0，可以忽略。“方和根法”成立：
                  R(f) =√[β?+ (3σ)?]                                                         （18）

8 系统误差与系统误差合成的交叉系数
       设（13）式中ΔX为系统误差βx ，ΔY为系统误差βy，有
                 RΔX = √ [(1/N)∑ΔXi?]= |βx|                                                （19）
                 RΔY= √ [(1/N)∑ΔYi?]= |βy|                                                 （20）
       则系统误差的交叉系数为
                  J = (1/N)(∑βxi βyi) / (|βx||βy|)    
                   = βx βy/ (|βx||βy|)
                    =±1                                                                              （21）  
       即有
                  |J|=1                                                                               （22）
       当βx与βy同号时，系统误差的交叉系数J为+1；当βx与βy异号时，系统误差的交叉系数J为-1。
       当系统误差的交叉系数为+1时，（11）式变为：
                 RΔf?=|βx?|+2|βx||βy| +|βy|? =(|βx|+|βy|)?
       即有        
                  RΔf = |βx|+|βy|                                                                  （23）
       （22）式就是绝对值合成公式。
       当系统误差的交叉因子为-1时，（22）式变为二量差的公式。因为通常只是知道系统误差之误差范围，又鉴于误差量“上限性”的特点，二量差的公式不能用。

       测量仪器的性能指标，给出的都是误差范围。该指标值由生产厂家给出，由计量部门公证，测量者按仪器指标应用。直接测量，测量仪器的指标，就可看作是测量的误差范围（只要符合仪器使用条件，环境等的影响已包含在仪器的指标中）。间接测量，要按间接测量的函数关系进行误差合成。测量仪器的误差范围指标值因以系统误差为主，要视其为系统误差值，按系统误差处理。
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                       交叉系数决定合成法（1）
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                                                                                                                           史锦顺
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引言
       误差，表示测得值与实际值的差距。误差的概念，有三层意思：误差元、误差范围，或泛指二者。
       误差元定义为测得值减真值。恒值的误差元，称为系统误差；随机变化的误差元，称为随机误差。
       误差范围定义为误差元的绝对值的一定概率（大于99%）意义上的最大可能值。
       测得值与误差范围构成测量结果。
       误差范围又称为准确度，是测量仪器、计量标准以及测量结果水平的表征量。
       误差合成是由误差元求误差范围。

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1 误差合成的原则、途径与方法
       误差量的特点是其绝对性与上限性。误差合成的原则是保险性与合理性。保险第一，合理第二；在保险的基础上追求合理。
       保险的含义是确定的误差范围值要包括误差元的最大可能值。合理的含义是确定的误差范围值要尽可能接近实际值，就是要利用误差量之间存在的抵消性。。

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       误差量要绝对值化，方式有两种。
       第一种方式是直接对误差元取绝对值。经典误差理论对系统误差直接取绝对值，合成取绝对和，保险，但偏于保守。而随机误差可正可负，有相互抵消作用，直接取绝对值不能体现随机误差的特点。第一种方式不能贯通。
       第二种方式是取“方根”。初等数学规定：开平方根取正值。本文提出用“方根法”，可以贯通于随机误差与系统误差。注意保险性与合理性，得出各种使用条件下的误差合成公式。取“方根”，按交叉系数近于1还是近于零来确定公式，可推导出“绝对和”与“方和根”两种方法。交叉系数的取值，可以体现误差量间有无抵消性。  

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       误差合成的途径也有两种。

       第一种途径是“方差合成”，其基本条件是随机性。 不确定度理论合成的途径是方差合成，其方针是统一采用“方和根法”。对随机误差的处理与经典误差理论相同，没有问题；但对系统误差的处理，出现严重问题。为实行“方和根法”，产生五项难题：1）认知误差量的分布规律、2）化系统误差为随机误差、3）假设不相关、4）范围与方差间的往返折算、5）计算自由度。其中1）很难；2）不可能；3）对系统误差错误；4）与5）都以 1）为基础，也很难。
       第二种途径是“范围合成”。本文着眼于范围，贯通了两类误差合成的各种情况。要点是统筹随机误差与系统误差的处理，把随机误差元变成是误差范围的直接构成单元。为此，用或正或负的恒值β代表系统误差元；用三倍的随机误差元3ξi代表随机误差对误差范围的贡献单元。这样，系统误差β与随机误差元3ξ对误差范围的贡献权重相同。于是，公式推导与合成处理，都简洁方便。

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       误差合成新理论的要点与特点如下：

       1）体现误差量的两大特点：绝对性和上限性。

       2）通过取方根，实现误差量的绝对值化；可以贯通于随机误差和各种系统误差。

       3）着眼于“范围”。进行各误差元到误差范围的合成；进行分项误差到总误差范围的合成。

       4）由交叉系数决定合成法的选取。避开有歧义的相关系数概念。

       5）合成中，只需辨别误差的性质（随机误差还是系统误差），大系统误差还是小系统误差。不需辨别相关性。与分布无关。

       6）依误差性质、项数的不同，把交叉系数典型化为0或1，由此得到误差合成的具体方法。

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       误差合成方法口诀：两三项大系统误差，绝对值相加；再与其他项合成，一律方和根。

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