请量友讨论《再议计量标准的重复性……》文中的一段...

《中国计量》2014年第一期，发表了《再议计量标准的重复性试验和稳定性考核》一文。的确，该文纠正了该刊2013年第十一期，发表的《对计量标准重复性试验和稳定性考核方法及要求的看法》一文的不是之处。该文请见：http://www.weblims.cn/thread-170679-1-2.html：请版式友学习并讨论《对计量标准重复性试验……》一文——贴子：请版式友学习并讨论《对计量标准重复性试验和稳定性考核方法及要求的看法》一文。

      但是，该文的如下关于计算单次测量结果的实验标准偏差贝塞尔公式中，测量次数n的大小的叙述值得商榷：

      ……                                                                                                                                                                                                                                   测量次数n应尽可能大，一般应不少于10次。其主要原因是用贝塞尔公式得到的实验标准偏差除随机误差以外还存在系统误差，并且当测量次数越少时，其系统误差越大，这就是为什么使用贝塞尔公式时要求测量次数足够大的原因。无疑，测量次数增加时其随机误差也会减小，但这并不是要求较大n的主要原因。测量次数n能否减少要视具体情况而定，若重复性所引入的不确定度分量在测量结果的不确定度评定中不是主要分量，可以适当减少测量次数，但不希望少于6次。

      量友们：你们觉得该项叙述有问题目吗？

回复 7# 刘彦刚

先看一下JJF1001-2011对“实验标准偏差”的定义：对同一被测量进行n次测量，表征测量结果分散性的量。用符号s表示。其后的注1：n次测量中个测得值xk的实验标准差可按贝塞尔公式计算。也就是说实验标准偏差首先推荐按贝塞尔公式计算，当然也可以采用其它方法，如极差法。

“测量次数n应尽可能大，一般应不少于10次。”这个没错，如果可能测量次数越多，计算得到的标准偏差越可靠，无论是采用贝塞尔公式还是极差法，因为次数越多自由度越大。“其主要原因是用贝塞尔公式得到的实验标准偏差除随机误差以外还存在系统误差，并且当测量次数越少时，其系统误差越大，这就是为什么使用贝塞尔公式时要求测量次数足够大的原因。”这有点不着边，对于大多数重复测量，系统误差通常是恒定的，对计算标准偏差没有影响，不变能有影响吗？“测量次数越少时，其系统误差越大”更是不可能，也不是使用贝塞尔公式时要求测量次数足够大的原因。次数少也可以用贝塞尔公式，次数的多少取决于你想获得的标准偏差的可信程度，你想获得一个可信度高的标准偏差，那只有增加测量次数，与用贝塞尔公式还是极差法关系不大。

“无疑，测量次数增加时其随机误差也会减小”这一说法也不妥，随着测量次数增加，算术平均值趋近于总体平均值（无限多次的平均值），并不一定使所有的随机误差减小，有的可能还增大，当测量次数n为无穷大时，残差=随机误差，此时得到的标准偏差为一常数s，在测量次数由小变大时，计算得到的标准偏差会比s时大时小，但当测量次数n趋向于无穷大时，标准偏差趋向于稳健的s。

“测量次数n能否减少要视具体情况而定，若重复性所引入的不确定度分量在测量结果的不确定度评定中不是主要分量，可以适当减少测量次数，但不希望少于6次。”这一点是对的，当是主要分量时，之所以要有更多的测量次数，只是为了获得一个可靠的标准偏差，即其自由度要足够大。不是主要分量时，我们测量再多也没有意义。

　　在JJF1001-2011的名词术语中，应该说重复测量实验后，所得平均值与被测量真值之差就是“测量偏移”，测量偏倚的定义就是“系统误差的估计值”，主要是测量设备的系统误差所造成，因此可视为系统误差。随机误差的定义是“重复性测量中按不可预见方式变化的测量误差的分量”，得到的标准偏差就是“随机误差”的变动范围半宽，可视为随机误差的最大值。
　　“当n趋向于无穷大时，平均值的标准偏差趋向于0”说明了测量次数多寡的确决定着随机误差的的大小，随着n逐渐趋近于无穷大，随机误差的抵偿性作用将得到充分发挥，以至于随机误差趋近于零。“当n趋向于无穷大时，平均值的标准偏差趋向于0，此时算得的系统误差就是定义的系统误差”，是因为平均值与被测量真值之差将越来越稳定，最终稳定在距离真值一个固定的偏移量，系统误差也就最后可以确定，这段话正是说明了在这之前系统误差同样会因为测量次数的不同而有不同程度的变化。
　　至于12楼所说的进行重复测量主要两个目的，我非常赞成。JJF1059.1-2012的4.3.2.3条也明确指出了“一般在测量次数减少时，可采用极差法获得”实验标准差，虽然没有明确减少是什么程度，但从表１给出的数据看最大次数为9，因此应该理解为9次及以下极差法较适宜，10次及以上应该是贝塞尔法更适宜。一些标准和行业则规定了使用贝塞尔法的测量次数不得少于6次。所以楼主引用的文章说“测量次数n能否减少要视具体情况而定，若重复性所引入的不确定度分量在测量结果的不确定度评定中不是主要分量，可以适当减少测量次数，但不希望少于6次”是有道理的。

版主说的这个有道理，我上面所说的并不是测量的系统误差，而是得到的实验标准偏差的系统误差，不管用什么数学方法计算实验标准偏差（比如贝塞尔法、极差法或其他方法）都会存在固有的偏离。就拿贝塞尔公式是为例，n取10和100得到的结果自然不同，也就是说选用不同的方法导致的对实验标准偏差的认知程度自然不同，这就是每种方法自己对于实验标准偏差的系统误差。其实在这里用系统误差这个词不是太合适，容易引起混淆，换个说法也许更好。

　　1.贝塞尔公式中要计算残余误差（简称残差），也就是每个测量结果均减去平均值。平均值相当于单次测量结果的“真值”，系统误差是可以修正的“偏倚”，偏倚是偏离真值的程度。测量次数越多平均值越趋近于真值，从这个意义上来说，测量次数的多少虽然并不能决定系统误差的大小，但它却不仅仅决定了随机误差的大小，同时也影响着系统误差。
　　2.使用贝塞尔法和极差法的目的相同，但其使用的场合区别于重复测量次数。当重复测量次数达不到9次，特别是达不到6次时，极差法是有效的，当重复测量次数6次以上，特别是10次以上时，贝塞尔法更为有效。所以说到底，因为增加测量次数不是每个实验都能轻易实现的，所以重复测量次数6次就成了贝塞尔法和极差法使用场合的分水岭。

谢谢你正确、精准的点评！是哦！该段叙述真的不应该！

我也觉得有问题。实验标准偏差是反映测量结果的分散性，那有实验标准偏还存在系统误差之说。其“测量次数越少时，其系统误差越大”，真不知道作者是怎么说得来的？

我觉得大凡这样的讨论，介入者总愿意选择相信权威，相信书本杂志。总会千方百计为权威杂志找正确的理由，而不会想万一权威、杂志的对方是正确的呢？

考虑问题，概念是重要的，但要具体化，有时动手写一写，就明白了。

贝塞尔公式用以计算的单元是“残差”，它等于测得值减平均值。不管测量次数N取几（当然要大于等于2），残差都与真值、系统误差没有关系，因此，贝塞尔公式与系统误差无关。

设被测量真值为Z，系统误差为D，随机误差为x(i)，测得值为M(i)，平均值为M(平)。

测得值为：

             M(1)=Z+D+x(1)

             M(2)=Z+D+x(2)

              ……

             M(N)=Z+D+x(N)

平均值为

             M(平)= (1/N)[NZ+ND +∑x(i) ]

                       =Z+D+(1/N)∑x(i)

残差为：

             ν(1)=M(1)-M(平)=x(1)- (1/N)∑x(i)

             ν(2)=M(2)-M(平)=x(2)- (1/N)∑x(i)

             ……

             ν(N)=M(N)-M(平)=x(N)- (1/N)∑x(i)

贝塞尔公式中用的残差，不包含系统误差。因此，贝塞尔公式是随机误差的公式，与系统误差没有关系。测量次数N大与小，是统计本身的完全性与稳定性问题，与系统误差无关。统计理论建立在N值很大的条件下。通常N应大于10。频率测量N取100。测量次数少，只能出现在如下情况：

1 粗放测量，要求低。
       2 测得值很稳定，变化量小于等于分辨力。

3 随机误差远远小于系统误差

以上测量，测量三次即可。多次测量是走形式，没有意义。

4 极难或代价极高的测量，例如核弹爆炸参数的测量。数据极少，N无法大。

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注意，对一般精密测量，对计量，除2、3两种情况外，都要进行多次测量。N应大于10。我认为，计量工作要认真按贝塞尔公式计算，而极差法，不可靠。我认为，在计算机普及的当代，再提极差法，是误导。

测量100个数，分成10段，按贝塞尔公式计算，每段西格玛大体稳定。

测量100个数，分成10段，按极差法找出每段西格玛，差异大。

测量50个数，分成10段，每段5个数，按极差法找出每段的西格玛，差异很大。

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我觉得该叙述有问题。。"其主要原因是用贝塞尔公式得到的实验标准偏差除随机误差以外还存在系统误差，并且当测量次数越少时，其系统误差越大"，首先觉得系统误差跟测量次数没有多大的关系，测量次数越少随机误差越大倒是显而易见的，再者由贝塞尔公式本身来看已经减掉了系统误差，这并不是增加测量次数的主要原因。。但当测量次数增加时，贝塞尔公式所反映的标准差更加接近于实际的重复性，这个应该是主要原因吧。。但是增加测量次数不是每个实验都能轻易实现的，这里就要考虑实际情况了，最佳测量次数我们是无法知晓的，要具体情况具体对待。