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误差合成的算法——测量计量基本概念(8)...

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winteer 发布于: 2016-8-18 16:34 3567 次浏览 2 位用户参与讨论
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               误差合成的算法

                                                       ——测量计量基本概念(8)

                                                                                                                                                   史锦顺

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误差合成的算法,是个争议颇大的话题。上段讲误差范围的确定,用的是绝对值相加。本文的基本观点是:基于误差量的特点,绝对值相加的方法,顺理成章。这种方法,合理、简单、实用、最受欢迎。

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(一)历史与现实情况

测量得到测得值。测量结果只有测得值不行,还要说明误差情况。测量结果的第一部分是测得值,第二部分是误差的表征量。历史上,测量结果有过不同的表征方法。第一部分都一样,必然是测得值;第二部分却不同,有过多种形式。因为误差元可正可负,不能取平均值,必须去掉正负号,于是出现如下几种处理方式。

1 算术平均误差(绝对值的平均值,不同绝对值等权)

2 标准误差σ(用贝塞尔公式计算)

3 或然误差(最可几值,包含概率50%),γ=0.6745σ

4 范围误差(最大值减最小值)

5 误差范围(取3σ,包含概率99.73%

6 扩展不确定度(不确定度理论主张取2σ,包含概率95.45%

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测量仪器与计量标准,其性能取决于各项误差因素。分项误差构成总误差,其计算方法称误差合成。

1993年以前,误差理论讲误差合成,主流是混合法,既不一律绝对值相加,也不一律均方合成,而是看相关系数,只有随机的、相关系数为零的项才能均方合成,其他项绝对值相加。在实际工作中,分析相关性,并非易事,于是通常的处理办法是:明显的随机量,如示值的随机波动量,均方根处理,绝对值较小而又项目较多的误差项目(正负抵消的机会较大),按方和根处理,而数量较少且数值较大的项目,按绝对值相加。课题成果或新产品鉴定会上,常常为合成方法而争论。多用方和根合成,常常有非议,因为算小了误差范围,即高估了性能指标;而绝对值合成,没有争议,研制者既已在低估自己,别人也不好说三道四。

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1993年以后,以GUM为代表的不确定度论,主张一律均方合成。不确定度论的前提是“系统误差修正以后”,怎样怎样;其实,对大量测量仪器,并不修正系统误差。因为对系统误差,常常是在分析与测量的基础上给出其范围值,不好修正。况且一台测量仪器有成千上万个实用测量点,一般没有共同的、数值相同的系统误差项,难于修正。而逐点修正又不便于使用者。因此测量仪器通常不修正。方和根合成法的前提是二量之和的平方,等于二量平方的和,交叉项的总效果为零,这一点,对于系统性误差,也难于让人信服。况且,均方合成之值较小,不保险,也难怪人们有疑虑。不确定度论主张一律均方合成,主要理由是计算方法统一的主观需要,而并没有客观的实在理由。不顾事实的强词夺理,形成不确定度论的一大败笔。

以上大致是历史与现状。以下是笔者的认识与主张。

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(二)误差量的特点

误差量,既是量值,也不是量值。一些权威人物称误差是量值,这有一定道理,误差量有单位、有数值。从有单位、有数值这个角度说,误差是量值。但要注意,更全面地看,就显出误差量与量值有本质的不同。

第一,量值是事物的客观属性,与人的认识与否无关。测得值是人的认识,误差是测得值与实际量的差距。误差量与人的认识密切相关,是人的认识的产物。

第二,量值是客观存在,大小一定,表达量值,不可大,也不可小,要正好。而测量的误差却不许大,而可以小,越小越好。对测量仪器性能的表征来说,又可以把误差往大说,而不可往小说。

误差量有如此两个特点,也不好泛泛地称它是量值。我们还是把量值与误差量,区分称说,区别处理。本文则严格关注误差量的特殊性。

测量,包括为其服务的计量与仪器制造,要求误差越小越好。但以实践对准确度的要求为依据,人们定出误差范围的不同档次,以方便于测量仪器的制造与选用。基本办法就是规定误差范围的指标。误差范围是误差绝对值的上限。仅此而已。有了误差范围的指标,就规定了仪器生产的要求、计量公证的标准,使用者选用仪器与表示测量结果的依据。测量仪器的研制、生产、使用,用一个误差范围指标(准确度),贯穿起来,是人类社会的组织效果,一种人类文明的体现。

误差量的“上限性”,是误差量的特有属性,它必然体现于一切有关的测量计量理论中。在人类对误差量的认识与表达历史上,出现过多种表示方法,但以“误差范围”应用最广。全世界用过的以及正在用的测量仪器,都标有准确度,就是误差范围指标值。不同称呼有许多,如极限误差、误差限、最大允许误差、准确度等级等等,实际都是误差范围。

误差量的上限性,决定了误差量表征量“误差范围”的广泛应用。误差范围怎样计算?考虑这个问题的根本依据,就是误差量的上限性。

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(三)误差范围的计算

测量讲究准确,准确是测量的灵魂。计量以标准的准确保证测量仪器的准确,准确是计量的命脉。准确是测量仪器与计量标准性能水平的标志。准确的程度用误差来衡量。误差元等于测得值减真值,可正可负;误差范围是误差元绝对值的一定概率(3σ,99.73%)意义下的最大可能值,恒正。误差元是误差概念的元素,说明误差的物理意义;误差可正可负,时大时小,不便于应用。实用的是误差范围。误差范围怎样计算合理?这个问题争议很大,本文表明笔者的一种观点。

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什么叫合理,什么叫不合理?符合客观规律就是合理,不符合客观规律就是不合理。讨论误差的表征法,必须根据误差量的特点。

由各项误差,计算总误差,通常叫误差合成。有人以为过去的误差理论,没有误差合成的办法,这是不符合历史的错误说法。千百种的测量仪器与测量工具,历史上都是给出“准确度”指标的,每台仪器都标有“准确度”数值,不合成怎来这个数?十大类计量,有几百种计量基准、标准,都标有准确度,都是诸误差因素的合成结果,不可能没有合成计算。(合成计算是研制者的事,体现于测量仪器、计量标准立项论证、成果鉴定论证、学术论文中。)

不确定度论出世以来,为了给自己的出世找借口,公然说准确度是定性的。这是完全不顾历史事实的一种胡说,是现代版的指鹿为马。明明准确度都给出具体数值,怎能说是定性的?历史就是历史,事实就是事实,GUM也好、VIM也好,谁也否定不了历史,而不顾事实说谎话,是一种反科学的可耻行为。几个美国人说“准确度是定性的”,事实如何呢?笔者手头有一本美国HP公司的1995年的测量仪器样本,随便翻几页,就找到三百多个给出特定值的准确度,这是谁也改变不了的历史;在网上极易查到2013年的美国安捷伦公司、福禄克公司的测量仪器样本,各种仪器都标着准确度指标的数值,这就是现实,那几个说“准确度是定性的”的美国人,歪曲历史,无视现实,在瞪眼睛说瞎话……。我这里要声明一下,我的行业是时间频率计量,我遵从的计量法规是《JJF1180-2007时间频率名词术语》,此法规规定:准确度是定量的,准确度是偏差的范围,并给出数字实例。我激烈反对、驳斥“准确度定性论”,是有国家法规为后盾的。网友不必在老史是否守法上费话。

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不确定度论主张误差合成一律取方和根。第一,这是为了跟经典误差理论闹对立;第二否定误差分类,否定对系统误差与随机误差应区分对待;第三,看到误差理论处理办法中的区分麻烦,而要给出一个统一的处理办法,于是就主张统一到一律取方和根。

笔者深知,学问较高的人主张分析相关系数。相当多的人赞成取“方和根”,其理由是:似乎这样不大不小,合适。这是把误差量等同于一般量值,而产生的误解。

笔者认为,学术水平高,分析相关系数,不必异议,但这是极少数人的事,能做得精是好事。但不好推广,也不一定必要。我认为,注意到误差量“上限性”的特点,取绝对值合成最好,

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(四)主张算术合成

算术合成就是各分项误差范围(都是正值)相加。

设测得值函数为

          M = f(X1,X2,X3)

泰勒展开的一阶项是

          ΔM = (?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3

误差范围为:

            R =│ΔM│max

               =│(?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3max

               =│?f/?X1││ΔX1max + │?f/?X1││ΔX1max + │?f/?X1││ΔX1max

               =│?f/?X1│R1 + │?f/?X2│R2 + │?f/?X3│R3

               = R(1) + R(2) + R(3)

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笔者的主张是取绝对值合成,即算术合成。理由如下。

1 符合最一般、最通用的误差理论知识

如数学手册(1980版)

aA的近似值,bB的近似值

             │a-A│Δa
                │b-B│Δb

           (a+b)的误差=Δa+Δb

           (a-b)的误差=Δa+Δb

从误差的最一般知识不难看出,误差计算的抓手是误差范围。

2 符合误差范围的定义

设误差元为r, 误差范围为

          R=│r│max

设误差元是三个数的代数和

          r = r(1) + r(2) - r(3)


          R = │r│max

          = │r(1) + r(2) - r(3) │max

          = │r(1)│max + │r(2)│max +│r(3)│max

          = R(1)+R(2)+R(3)

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(五)合成方法比较


方法一 混合法

据笔者所知,历史上的合成方法,以混合法最多。明显的随机误差,数值较小而项目较多的系统误差,取方和根(将各项平方,求和,再开方)。大的系统误差取绝对值相加。

历史证明,混合法基本可用。

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方法二 方和根法

不确定度论主张一律采用方和根法合成。

要理由是期望统一算法。

反对误差分类说,认为任何误差都服从特定的分布规律。

不确定度论的方和根法:先将单项误差范围,除以因子,恢复至标准不确定度。将各个项的标准不确定度平方,求和,开方,得合成不确定度。乘因子2,得扩展不确定度,包含概率95%

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【史评】

方和跟法起源于单项的重复测量的均方根法。均方根法表达的是随机误差。测得值对参考值之差,有正有负,不能取代数和。必须甩掉差值的正负号。去掉正负号的第一个办法是取绝对值,求和,平均。第二个办法是平方(正负号消失)平均,再开方。贝塞尔巧妙地实现了用平均值代换期望值,推导出贝塞尔公式。于是,贝塞尔公式得到广泛应用,成为测量计量学、统计物理的基础。

着眼点于绝对值(去掉正负号)本来有两种方法:取绝对值或取平方之根。由于贝塞尔的成就,使理论与应用都聚焦于平方之根。对重复性测量的随机误差或随机偏差,这样做是恰当的。而把这种方法,移植于性质完全不同的测量仪器研制中的误差合成,就不一定是必须的。况且,某些特性构成这种方式的原则性困难。

1 和的平方,通常不等于平方的和。即量间的相关系数不为零。而准确计算相关系数又非易事。

2 不确定度论反对误差分类。但系统误差与随机误差性质不同,是抹煞不了的事实。不确定度论认为系统误差,也是随机分布量;眼光甚大,例如说,用很多台测量仪器测量同一量值,仪器的系统误差必呈分布规律。但人们要处理的是用一台仪器来测量。用许多仪器测量同一量,是虚构。

3 都取方和根,等于承认各量间的相关系数为零,也就是承认二量和的平方等于平方的和,即交叉项的作用为零,这难于被人相信。

4 计算的指导思想,像是对待一般量值,是求“合适值”,而不是找最大值。

5 合成计算结果偏小。又取2σ,可靠性95.54%,降低要求,丢失信誉。

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方法三  算术和

对明显的随机误差,如示值的重复性,测N次,求σ,以3σ为随机误差范围。对其他单项误差,不分属性,一律寻找其绝对值的最大可能值,即其误差范围。

算术和法:取各个单项误差范围之和,就是测量仪器的误差范围。

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【史评】

1 符合最基本的数学原理(数学手册方法)

2 符合误差量的特点(上限性)

3 有实践基础

4 最保险

5 简单易行,设计者欢迎

6 可靠,测量者欢迎

7 鉴定会容易通过。

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(六)回答几点质疑

1 有人说:你都用绝对值相加,能保证相关系数都为1吗?

【史答】

计算相关系数,是计算交叉项贡献大小的需要,仅仅是取方和根算法的产物。当采用算术和法,即取绝对值相加时,因为是求最大范围值,与相关不相关没关系,不论相关系数多大,合成项的最大可能值都是各个单项的最大可能值之和。因此,避开了相关系数。

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2 能保证计量公正吗?设计者低估自己有好处,而计量者不能低估被检仪器的性能。

【史答】

指标合成、给出,都是测量仪器研制者的事。计量着眼点是测量仪器的总指标,不过问、也不进行分项误差合成。计量凭标准凭实测,考察的是仪器的实际误差范围(测得值减真值的范围),是否符合指标。因此合成方法,与计量无关。个别测量仪器给出的是分项指标,那就只好按分项指标检定。如仪器同时给出合成方法,就该按总指标检定,则检定既包括了分项指标,也包括了合成方法的合理性。

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3 是不是浪费

【史答】

实际工作中,绝对地既保险又不浪费,是不可能的。况且,指标仅是标志问题,不影响实际性能。国际最著名的测量仪器公司,所以信誉高,重要的一点是指标留有较大的余量。笔者验收过的国际著名品牌,实际误差范围常常小于其指标的二分之一,甚至三分之一。当然是余量越大越好。

成本与可靠性,误差理论历来偏重于可靠性,这是正确的方针。不确定度论把历来的3σ,改为2σ,是倒退的错误主张。一件有趣的事是:美国人的不确定度论主张“不浪费”的2σ(包含概率95%),这个本来对生产厂有利的主张,美国的测量仪器公司福禄克公司却宣布:本公司为对用户负责,所有仪器一率取包含概率99%,狠狠打了不确定度论一记耳光。一个实业公司,眼光竟远远高于那推行不确定度论的八大国际学术组织!

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已有2人评论

沙发
2支棒棒糖 发表于 2016-8-18 17:11:07
Pt传感器误差=±0.105度,矩形分布,极限误差/k=0.105度/√3≈0.0606度
基准电阻误差≈±0.0323度,矩形分布。极限误差/k=0.0323度/√3≈0.0186度
INL≈±0.0111度,正态分布(k=3),极限误差/k=±0.0111度/3≈0.0037度
校正热电动势后残余误差≈±0.013度,正态分布(k=3),极限误差/k=±0.013度/3≈0.0043度
失调电流误差≈±0.0025度,三角分布,极限误差/k=±0.0025度/√6≈0.0010度
3倍标准差合成总误差=3*√(0.0606^2+0.0186^2+0.0037^2+0.0043^2+0.0010^2)≈±0.19度
最差总误差=0.105+0.0323+0.0111+0.013+0.0025≈±0.16度
最差总误差反而小于3倍标准差合成总误差,确实感觉标准差合成不太合理
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板凳
spiegesq 发表于 2016-8-18 20:30:49
回复 1# 史锦顺


   把史老师这篇文章仔细看了一遍。对不确定评定的认知有了更多的了解。建议更多的读者读一读   为了解误差合成方面的知识,我前段时间还买了一本费业泰老师的《误差理论和数据处理》第六版的书看了一下,其中也加插一些不确定评定的东东,但没有把误差合成讲透,对不确定也只是说,“新概念有待完善”之类的评价。
建议史老师出一本误差理论方面的书籍进行推广。
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