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交叉项中系统误差强相关
—— 关于相关性的讨论(2)
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史锦顺
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(一)处理误差合成的两种思路
函数的变化量,等于函数对各个自变量偏微分的和。数学上是泰勒展开的一级近似。
f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo) (1)
f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy
Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy (2)
公式(2)是变量关系的普遍形式。对所研究的特定函数来说,?f/?x、?f/?y是常数。
变量关系用于测量计量领域,x是测得值,xo是真值, Δx是测得值x的误差元;y是测得值,yo是真值,Δy是测得值y的误差元;f(x,y)是求得的函数值, f(xo,yo) 是函数的真值,Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是求得的函数值的误差元。
误差元定义为测得值减真值,可正可负;当有随机误差存在时,误差元可大可小。
误差量的特点是绝对性与上限性。第一,误差量按绝对值论大小;第二取误差绝对值的最大值为误差的表征量。这个表征量就是误差范围(又称极限误差、最大允许误差、准确度、准确度等级)。误差范围定义为误差元的绝对值的一定概率(99%以上)意义上的最大可能值。误差范围是测量计量水平以及仪器性能水平的表征。
如是,对误差元要进行两步操作。第一步取绝对值;第二步取绝对值的最大值。经典误差理论,例如1964年出版的《误差理论与实验数据处理》(冯师颜)与1980年出版的《数学手册》,处理方法就是取绝对值的最大值。这体现了误差量的两个特点。这是“绝对和法”,就是取绝对值之和。
用“绝对和法”转化(2)式的误差元为误差范围R,有:
|Δf |max= |(?f/?x) Δx + (?f/?y)Δy|max
=|?f/?x||Δx|max +|?f/?y||Δy|max
R(f) = |?f/?x|R(x) +|?f/?y|R(y) (3)
公式(3)用于和、差、积、商、乘方、开方六大基本函数关系,就有极为简明的六个定理(参见《史氏测量计量学说》第4章):
定理一:二量和的误差范围,等于二量的误差范围之和。
定理二:二量差的误差范围,等于二量的误差范围之和(不是差)。
定理三:二量之积的相对误差范围,等于二量的相对误差范围之和。
定理四:二量相除,商的相对误差范围,等于二量的相对误差范围之和(不是差)。
定理五:Y等于A的n次方,则Y的误差范围等于A的误差范围的n倍。
定理六:Y等于B的n次方根,则Y的误差范围等于B的误差范围的1/n倍。
以上六个定理,即常用的“绝对和法”误差合成公式,对测量计量工作者是十分重要的,也极其简明,好记、好用、保险。
“绝对和法”着眼于误差的上限性,不存在不确定度论的各项难关:1 不考虑分布规律;2 不计较相关性;3 正视系统误差的客观存在,没必要把系统误差随机化;4 直接用分项误差范围计算,没必要进行范围与方差间的折腾;5 没有自由度一说。
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误差处理的特例,是对随机误差的处理。多次重复测量,单项随机误差内部取“均方根”。贝塞尔公式是典型代表。
各项随机误差之间合成,用“方和根法”。方和根法的基本依据是各量之和的平方,等于各量之平方的和,就是多项式平方的展开式的交叉项的和为零(或可以忽略)。
用贝塞尔公式处理测量系列,得到σ,这相当于前述第一项操作:取绝对值;第二项操作是乘3得随机误差范围,这就体现了“上限性”(概率大于99%)的特点。
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1980年启动而于1993年正式推行的不确定度理论(包括1980年后的一些误差理论书籍),合成方法主张用“方和根法”。此法否定了误差量取最大值的操作;但对取绝对值,还是依旧的。对随机误差,处理方法也依旧。
新的作法是把对随机误差的处理方法,推广到一般情况。就是不分误差是随机的还是系统的,一律取“方和根”。GUM为此而淡化系统误差与随机误差的分类与划分。但是,无视客观规律是要受到惩罚的,本文所论的合成中的相关系数的是非,就来源于对误差性质的混淆。
同经典误差理论不同,不确定度论不是直接取误差元的绝对值,而是平方再开方。初等数学规定,平方根取绝对值。这样做,第一达到取绝对值的目的;第二,对随机变量,有“二量和的平方等于二量平方的和”这个特性,因而对处理随机变量的统计问题,这是十分方便的,也是必要的。这样做是正确的(经典误差理论对随机误差本来就这样做)。
对于系统误差,二量之和的平方,等于每个量之平方的和加上交叉项之和。测量仪器通常是以系统误差为主的;有系统误差的情况下,交叉项等于什么,是否为零或能否忽略,这是“方和根法”成立与否的关键。
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(二)“方和根法”误差合成中,系统误差的相关系数绝对值是1
系统误差合成的交叉项(以下简称交叉项)是常量,不存在抵消作用,是不能忽略的。系统误差在交叉项中的“相关系数”,是+1或者是-1。就是说,参加合成的分项的系统误差,不管来源如何,只要是常量(系统误差就是“误差值为常量”的误差),在交叉项中,其相关系数的绝对值是1,因而交叉项不能为零,也不能忽略。正常的作法是把合成公式转换为二量的绝对值之和(相关系数是+1时),或绝对值之差(相关系数是-1时)。鉴于通常对系统误差的了解是只知其范围,又鉴于合成后误差的上限性,要回避取差,该取绝对值之和。这就回到了经典误差理论的“绝对和”法。
本栏目的帖子中已有崔伟群先生(中国计量科学研究院,一研究中心主任,2011 http://www.weblims.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=182209&extra=page%3D1 2#帖)、njlyx先生(李永新博士,南京理工大学教授,博士生导师。史注:引自《南京理工大学研究生导师表》,兵工学会专业委员 http://www.weblims.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=181917&extra=page%3D1&page=5,107#帖),二位学者都已严格证明,“方和根法”误差合成中,交叉项中的系统误差的相关系数是+1或-1,我的学术探讨仅仅是证明二位学者给出的结果是正确的。鉴于崔主任的推导数学形式较复杂,而李博士的证明又过于简约,我再用我的方式科普如下。
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(三)方和根法合成中,系统误差相关系数公式的推导
设函数的误差由两项误差Δx、Δy引起。由此,函数的两项误差元为:
Δf(x) = (?f/?x) Δx
Δf(y) = (?f/?y) Δy
把分项误差作用的灵敏度系数与该项误差归并,记为(注意大小写):
Δf(X) = ΔX
Δf(Y) = ΔY
函数的误差元式(2)变为:
Δf=ΔX +ΔY (4)
对(4)式两边平方并求和、平均:
(1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔX +ΔY)^2
=(1/N)∑ΔX^2 + 2(1/N)∑ΔXΔY+(1/N)∑ΔY^2 (5)
(5)式右边的第一项为σ(X)^2,第三项为σ(Y)^2; (5)式的第二项是交叉项,是我们研究的重点对象。记交叉项为2J。有
σ(f)^2 = σ(X)^2+2J+σ(Y)^2 (6)
变换交叉项之J
J = (1/N)∑ΔXΔY
={(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)]} [σ(X) σ(Y)]
= Rc [σ(X) σ(Y)]
(6)成为
σ(f)^2 = σ(X)^2+2 Rc [σ(X) σ(Y)] + σ(Y)^2 (7)
(7)中的Rc为:
Rc=(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)] (8)
按已有的惯例,特别是参照随机误差情况下的称谓,称Rc为相关系数。
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(1)设ΔX、ΔY是残差,ΔX=X-X(平),ΔY=Y-Y(平), 公式(8)就成为基于残差的相关系数公式
Rb=(1/N)∑[X-X(平)][(Y-Y(平)) / {σ[X- X(平)]σ[Y- Y(平)]} (9)
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(2)设ΔX、ΔY为系统误差。系统误差在系列测量时不变,是个常数。有
ΔX=Kx (10)
ΔY=Ky (11)
且有
σ(X)= |Kx| (12)
σ(Y)= |Ky| (13)
将(10)到(13)代入(8),则得系统误差的相关系数为:
Rc=(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)]
=(1/N)NKxKy / [|Kx| |Ky|]
=±1
即有
|Rc|=1 (14)
当Kx、Ky同号时,系统误差的相关系数为+1;当Kx、Ky异号时,系统误差的相关系数为-1.
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当系统误差的相关系数为+1时,(7)式为:
σ(f)^2 = σ(X)^2+2 σ(X) σ(Y) + σ(Y)^2 (15)
= [σ(X) + σ(Y)]^2
既有:
σ(f) = σ(X) + σ(Y) (16)
也就是
| Δf | =|ΔX|+|ΔY| (17)
(17)式就是绝对值合成公式。
当系统误差的相关系数为-1时,(7)式变为二量差的公式。因为通常只是知道系统误差之误差范围,又鉴于误差量“上限性”的特点,此解不能用。反正它在(17)的区间中,即“绝对和法”包容它,不必另设炉灶。
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综上所述,系统误差在“方和根法”合成时,交叉项中的相关系数是+1(相关系数为-1的解不能用);这样,“方和根法”,就回归为“绝对和法”。
测量仪器的误差,通常以系统误差为主。在有系统误差存在,特别是以系统误差为主的通常情况下,交叉项中的误差项,不是弱相关而是强相关。这样,不确定度评定的通常的假设条件“不相关”,通常是不成立的。就是说,不确定度评定的“方和根法”是没道理的。不确定度理论为推行“方和根法”,导致产生五大难关:分布规律、不相关假设、变系统为随机、范围到方差的往返折腾、求自由度。这些,都是自找麻烦,并无必要;不仅不必要,由于忽略交叉项,不合理地缩小误差范围,违背误差量的上限性特点,成为工程的隐患。
“系统误差强相关”,一条曝光,就使五大难关灰飞烟灭(没必要费那个劲儿)。此乃计量人的幸事,省却那么多麻烦,好!清除重大工程的隐患,应该!必须的!
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致谢
njlys(李永新博士)与崔伟群主任(按我知道的时间顺序),指出并证明在“方和根法”合成中,交叉项中的系统误差的相关系数的绝对值为1,这对本人的学术探讨,十分给力。本人深受启发,特致谢意。
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