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一着失手整盘皆空
—— 关于相关性的讨论(1)
史锦顺
(一)《测量不确定度评定指南》的例子
《测量不确定度评定指南》(国家质检总局组编,2000年)以下简称《指南》。
《指南》上的例子及计算,本文称第一组测量,史锦顺重算。
A:电压测量(单位:伏)
序号 V11 V12 V13 V14 V15
5.007 4.994 5.005 4.990 4.999
电压平均值:V(平)1=4.999
残差 v(V)11 v(V)12 v(V)13 v(V)14 v(V)15
0.008 -0.005, 0.006 -0.009 0
检验 ∑v(V)1i=0
残差平方 (×10^-4)
0.64 0.25 0.36 0.81 0
残差平方和及处理:[∑v(V)1i^2]/4= 0.0000515 开方得:
σ (V) = 0.0072
除以根号5——2.236,得σ (V平)=0.00322 与《指南》一致。
B:电流测量(单位:毫安)
序号 I11 I12 I13 I14 I15
19.663 19.639 19.640 19.685 19.675
电流平均值:I(平)1=19.6604
残差 v(I)11 v(I)12 v(I)13 v(I)14 v(I)15
0.0026 -0.0214 -0.0204 0.0246 0.0146
检验 ∑v(I)1i=0
残差平方(×10^-4)
0.0676 5.5796 4.1616 6.0516 2.1316
残差平方和(×10^-4)
16.992 除以4得4.248 开方得 2.016(×10^-2)
σ (I) = 0.0206
除以根号5(2.236)得σ (I平)=0.00922(《指南》上为0.0095,取平均值少一位,算得不准)
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C: 相关系数计算
r={[∑v(V)1i v(I) 1i] /4} / [σ (V) σ (I)]
重写A: v(V)1i= V1i-V(平)1
电压残差 v(V)11 v(V) 12 v(V)13 v(V)14 v(V)15
0.008 -0.005 0.006 -0.009 0
电流残差 v(I) 11 v(I) 12 v(I)13 v(I)14 v(I)15
0.0026 -0.0214 -0.0204 0.0246 0.0146
同序号项乘积(×10^-4)
v(V)11 v(I) 11 v(V)12 v(I) 12 v(V)13 v(I) 13 v(V)14 v(I) 14 v(V)15 v(I) 15
0.208 1.07 -1.224 -2.214 0
求和 –2.16 除以4 得-0.54 写全,分子为 0.000054 分母为σ (V)σ (I)=0.0072×0.2061=0.000145
相关系数:
rb = -0.000054/0.000145
rb ≈ -0.37 (《指南》为-0.36)
从以上算法可知,这是基于残差的一种求法,结果rb是电压电流测得值的随机误差的相关性。
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(二)史锦顺改题:求误差间的相关系数
本文称第二组计算。设本次测量数据来自对标准电压4.950V、标准电流19.400毫安的测量。设标准的误差范围可略。
A:电压测量(单位:伏)原题数据,着眼点测量误差(以真值为参考)
序号 V21 V22 V23 V24 V25
5.007 4.994 5.005 4.990 4.999
电压标准值(真值)=4.950
误差 w(V)21 w(V)22 w(V)23 w(V)24 w(V)25
0.057 0.044 0.055 0.040 0.049
误差平方×10^-4
32.49 19.36 30.25 16.00 24.01
误差平方求和 122.11 , 除以5得24.422 开方得4.94
σ (V)=0.0494
B:电流测量(单位:毫安) I(真)=19.400
序号 I21 I22 I23 I24 I25
19.663 19.639 19.640 19.685 19.675
误差 w(I)21 w(I)22 w(I)23 w(I)24 w(I)25
0.263 0.239 0.240 0.285 0.275
误差平方 0.0692 0.0571 0.0576 0.0812 0.0756
求和 0.3407 除以5 得0.06814 开方得
σ (I)=0.261
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C: 相关系数计算
重写A:
电压误差 w(V)21 w(V) 22 w(V)23 w(V)24 w(V)25
0.057 0.044 0.055 0.040 0.049
重写B:
电流误差 w(I) 21 w(I) 22 w(I)23 w(I)24 w(I)25
0.263 0.239 0.240 0.285 0.275
同序号项乘积
v(V)21 v(I)21 v(V)22 v(I) 22 v(V)23 v(I) 23 v(V)24 v(I)24 v(V)25 v(I) 25
0.0150 0.0105 0.0132 0.0114 0.0135
分子 求和 0.0639 除以5得0.01278
分母 σ (V) σ (I)=0.0494 ×0.261=0.01289
相关系数:
rc = 0.01278/0.01289 = 0.9915
rc=0.99
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(三)量值间的关系
测量计量的研究对象是量值。在所研究的问题中,量值是有特定关系的,因此量值一般是相关的。
电压、电流是两个不同的量值。谈它们之间的关系,不能空论,要结合具体的实践问题。
第一个常见的问题是计算电功率。加在负载上的电压与流过负载的电流,决定负载上的电功率为
P = VI (1)
公式(1)表达的是物理规律。如果负载是电阻,(1)式是电能转化为热能的功率;如果负载是电动机,(1)式是电动机做功的功率。如果负载是一台电动火车,(1)式表明的是火车运行的功率。
物理公式(1)把电压与电流两个量紧密联系在一起,电压与电流二量是强相关的。
第二个常见的问题是表达电阻上的电压与电流的关系
I=V/R (2)
公式(2)是著名的欧姆定律。电阻把加在其上的电压与电流二量紧密的联系在一起。电压与电流二量在电阻上强相关,相关系数是+1.
人们研究量值,在涉及不同的量时,通常是研究他们的关系。存在关系的量之间,通常是相关的。
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(四)误差之间的关系
误差合成问题,研究的是误差之间的关系。各个分项误差,构成总误差。
函数的全微分,等于函数对各个自变量的偏微分之和。有量的函数关系,就必定有函数的微分关系。微分用于误差分析,函数对各个自变量的偏微分,就是各项误差对总误差的贡献。量值间的函数关系,导致误差的叠加关系,因此,误差间必定是相关的。测得值的平均值与真值的差,是系统误差。系统误差是常量,系统误差之间的关系:相关系数是+1或-1。测得值对平均值的差是随机误差。随机误差可正可负,有对称性及有界性;各个随机误差的作用,有抵消性。当测量次数足够多时,且当随机误差间不相关时,随机误差的总作用为零。
“方和根法”的前提条件是交叉项之和为零,仅对随机误差有可能成立;而对系统误差是不成立的。测量仪器通常是以系统误差为主的,因此,用“方和根法”处理仪器的误差问题,通常是不当的。
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1980年以来,不确定度理论(包括80后的部分误差理论书籍),推行“方和根法”,其理论根据就是“不相关”。用“不相关”来说明二量之和的平方等于二量之平方的和;也就是交叉项之和为零。其实,这是一种假设,这种假设通常是不成立的。
“假设不相关”的理论基础与验证方法,是统计理论中的相关系数公式。这个公式,放在测量计量学中,本质仅仅是针对于残差(测得值减平均值)的公式。该公式对系统误差的灵敏度为零。因此,它不能判别有系统误差存在情况下的相关性。
测量仪器通常以系统误差为主。系统误差间的强相关,交叉项消不掉,这就导致“方和根法”通常是不成立的。
不确定度理论的庞大系统:1被测量与误差的各种各样的、难以求知的分布规律;2 相关性的分析、验证以及不负责任的大量的“不相关假设”;3 否定系统误差的客观存在,把误差都转化为随机误差;4 把仪器的误差范围转化为方差再转化为范围的往返穷折腾;5 分析计算自由度……这一切,都是服务于“方和根法”的应用。这个体系的根本要害,是“假设不相关”能否成立。
原来,现在用的相关系数公式是针对残差的公式;对误差问题,用不上。一招失手,全盘皆空。相关系数公式选用不当,成了不确定度论的滑铁卢。
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本文是个开头。后文重点分析交叉项的问题。希望网友都来关注一下。因为这涉及对不确定度理论的评价,特别是涉及不确定度评定的合理性。
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补充内容 (2015-10-16 11:51):
"随机误差的总作用为零”一句,修改为:对交叉项来说,随机误差的总作用为零。 |
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