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协方差可略的三条是误导
—— 关于相关性的讨论（3）
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史锦顺
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（一）计量规范《JJF1059.1-2012》的表述
协方差可略的三条
4.4.4.1 协方差的估计方法
a）两个输入量的估计值xi与xj的协方差在以下情况时可取零或忽略不计：
1）xi和xj中任意一个量可作为常数处理；
2）在不同实验室用不同测量设备、不同时间测得的量值；
3）独立测量的不同量的测量结果。
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（二）交叉因子的史氏求法
误差量有两个特点，一个是“绝对性”，一个是“上限性”。误差分析的基础是误差元（测得值减真值）。误差合成的任务是把误差元变成误差范围（误差元的绝对值的一定概率意义上的最大可能值）。误差范围体现误差量的两个特点。误差范围恒正，误差范围是误差量的上限。
误差合成就是把误差元变成误差范围。
标准误差σ是随机误差的表征量，3σ是随机误差范围。贝塞尔公式，以平均值代换掉标准误差定义中的真值，可实现对标准误差的计算，称为实验标准误差。
标准误差的定义是取“均方差”，是系列测得值的误差（以真值为参考）的“平方和的平均值的根”。贝塞尔公式的实验标准误差，是残差（测得值减平均值）的“平方和的平均值的根”。
在随机误差的处理上，经典误差理论用“方和根法”，利用了“二量之和的平方等于二量各自平方的和”这个随机变量的特性，是巧妙而成功的。
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1980年启动而于1993年推行的不确定度论（包括1980年后的一些误差理论书籍），把“方和根法”，推广到仅有系统误差或以系统误差为主的场合，这就出了问题。这里仔细分析一下各种情况。
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2.1理论基础
函数的变化量，等于函数对各个自变量偏微分的和。就是泰勒展开的一级近似。
f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo) （1）
f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy （2）
Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy （3）
公式（3）是变量关系的普遍形式。对所研究的特定函数来说，?f/?x、?f/?y是常数。
变量关系用于测量计量领域，x是测得值，xo是真值, Δx是测得值x的误差元；y是测得值，yo是真值，Δy是测得值y的误差元；f(x,y)是求得的函数值， f(xo,yo) 是函数的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是求得的函数值的误差元。
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2.2 交叉因子的一般表达
设函数的误差由两项误差Δx、Δy引起。由此，函数的两项误差元为：
Δf(x) = (?f/?x) Δx
Δf(y) = (?f/?y) Δy
把分项误差作用的灵敏系数与该项误差归并，记为：
Δf(x) = ΔX
Δf(y) = ΔY
函数的误差元式（3）变为：
Δf=ΔX +ΔY （4）
对（4）式两边平方并求和、平均：
(1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔX +ΔY)^2
=(1/N)∑ΔX^2 + 2(1/N)∑ΔXΔY+(1/N)∑ΔY^2 （5）
（5）式右边的第一项为σ(X)^2，第三项为σ(Y)^2; （5）式的第二项是交叉项，是我们研究的重点对象。第二项为
2(1/N)∑ΔXΔY = 2{(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)]} [σ(X) σ(Y)]
= 2J [σ(X) σ(Y)] （6）
（5）成为
σ(f)^2 = σ(X)^2+2 J [σ(X) σ(Y)] + σ(Y)^2 （7）
（6）式（7）式中的J为：
J =(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)] （8）
当前，称J（通常记为r）为相关系数。这和统计理论的相关系数，物理意义不一致。为澄清已有的混淆，以下称J为交叉因子。
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2.3 随机误差间合成的交叉因子
记误差元为ε，系统误差元为β，随机误差元为ξ。
对随机误差的合成，ΔX是ξx, ΔY是ξy，代入（8）式，并变成残差形式（以平均值为参考），有：
J =[1/(N-1)](∑ξxξy) / [σ(X) σ(Y)] （9）
由于ξx、ξy是随机误差，可正可负，可大可小，有对称性与有界性，多次测量，是大量的，因此，随机误差间的合成的交叉因子为零（或可以忽略）。
随机误差合成，“方和根法”成立。由（7）式，有
σ(f) =√[σ(X)^2+ σ(Y)^2] （10）
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2.4 随机误差与系统误差合成的交叉因子
两个分项误差，一个是随机的，记为ξ；一个是系统的（重复测量中不变），记为β。代入公式（8），有
J =(1/N)(∑ξiβ) / [σ(X) σ(Y)] （11）
系统误差元是常数可以提出来，有
J =(1/N) (β∑ξi) / [σ(X) σ(Y)] （12）
精密测量，要进行多次重复测量取平均值，ξi 相当于残差，残差之和为零。因此精密测量时，随机误差与系统误差的交叉因子可以忽略，因此，“方和根法”成立。
说明一点。此前，我没做过这项推导，又顾及单次测量无抵消作用的情况，曾主张随机误差与系统误差的合成用“绝对值合成法”。此法不错，但保守。鉴于现在已有上述证明，且注意到“单次测量”仅出现在随机误差可略（重复测量中示值为常值）的普通测量中，可以不必顾虑。由是，我的主张更改为：系统误差范围与随机误差范围合成，可以用“方和根法”合成。
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2.5 系统误差与系统误差合成的交叉因子
设（8）式中ΔX为系统误差βx ，ΔY为系统误差βy，则系统误差的交叉因子为
J =(1/N)(∑βxβy) / [σ(X) σ(Y)] （13）
βx、βy为系统误差。系统误差在系列测量时不变，是常数。有
σ(X)= |βx| （14）
σ(Y)= |βy| （15）
将（14）（15）代入（13），则得系统误差的交叉因子为：
J =(1/N) (∑βxβy) / [ |βx| |βy| ]
=(1/N)Nβxβy / [|βx| |βy|]
=±1
即有
|J|=1 （16）
当βxβy同号时，系统误差的交叉因子为+1；当βxβy异号时，系统误差的交叉因子为-1.
当系统误差的交叉因子为+1时，（7）式为：
σ(f)^2 = σ(X)^2+2 σ(X) σ(Y) + σ(Y)^2
= [σ(X) + σ(Y)]^2
既有：
σ(f) = σ(X) + σ(Y) （17）
即
| Δf | =|ΔX|+|ΔY|
也就是
| Δf | =|βx|+|βy| （18）
（18）式就是绝对值合成公式。
当系统误差的交叉因子为-1时，（15）式变为二量差的公式。因为通常只是知道系统误差之误差范围，又鉴于误差量“上限性”的特点，二量差的公式不能用。
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综上所述，系统误差在“方和根法”合成时，交叉项中的交叉因子是+1（相关系数为-1的解不能用）；这样，“方和根法”，就回归为“绝对和法”。
测量仪器的误差，通常以系统误差为主。在有系统误差存在，特别是以系统误差为主的通常情况下，交叉项中的误差项，不是弱相关而是强相关（借用常用说法）。这样，不确定度评定的通常的假设条件“不相关”，通常是不成立的。就是说，不确定度评定的“方和根法”是没道理的。不确定度理论有五大难关：分布规律、不相关假设、变系统为随机、范围到方差的往返折腾、求自由度，都是自找麻烦，并无必要；不仅不必要，由于忽略交叉项，不合理地缩小误差范围，违背误差量的上限性特点，成为工程的隐患。
除对纯随机误差外，不搞“方和根合法”合成，也就避免了不确定度论提出以来的困扰计量界的五大难关，多么轻松！
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2.6 系统误差比重大时，合成的交叉因子
测量仪器的误差，通常是以系统误差为主的。 若系统误差在总误差的比重，大于60%，则误差因子也会大于0.6，就是强相关。因此，正视测量仪器以系统误差为主的实际情况，各仪器的测量误差合成，一般不能用“方和根法”。
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（三）《JJF1059.1-2012》置疑
【JJF1059.1-2012条款】出处见（一），下同。
1）xi和xj中任意一个量可作为常数处理；协方差可以忽略。
【史评】
这条的意思，是说：xi与xj中，有一个是常量，协方差就可忽略。两个都是常量，则更可忽略。在讨论误差合成中，系统误差是常量。本条款说：二分项误差中，有一个是系统误差，则协方差可略。二误差都是系统误差，则协方差当然可略。
由前边（二）中的推导证明，可知：两个误差都是随机误差，协方差可略；两误差中有一个是随机误差，另一个是系统误差，协方差也可略。当二量都是系统误差时，强相关，协方差不可略。
可见，本文的协方差忽略条件是有一个是纯随机误差；而JJF1059却说协方差的忽略条件是有一个是系统误差。
两种说法有本质区别。规范条款认为协方差通常可以忽略；因此通常可用“方和根法”；本文分析则说明，通常“方和根法”是不成立的。因为测量仪器的误差，不仅有系统误差，而且通常是以系统误差为主的。
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【JJF1059.1-2012条款】
2）在不同实验室用不同测量设备、不同时间测得的量值；协方差可以忽略。
【史评】
不同实验室、不同测量设备、不同时间的测量，都避免不了有系统误差存在，而且测量仪器一般是以系统误差为主。必须至少有一个是纯随机误差（或随机误差占绝大比例），才能忽略协方差。因此，在不同实验室用不同测量设备、不同时间测得的量值，只要系统误差占主导，就不能忽略协方差。
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【JJF1059.1-2012条款】
3）独立测量的不同量的测量结果；协方差可以忽略。
【史评】
此条不妥。理由同上。只要测量中系统误差占较大比例，而不是纯随机误差，就不能忽略协方差。
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总之，《JJF1001-2012》为宣扬GUM的“方和根法”而强调的“协方差可忽略”的三项条款，是不对的，是一种误导。
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强调指出：
在讨论合成方法中，把交叉项能否忽略，说成是相关不相关，这本身就是一种误导。两个完全不相关的量，只要取这二量的和的平方，平方的展开式中，就必然有交叉项。此交叉项能不能忽略，不是二量是否相关的问题，而是必须有一个量可正可负地变化，或两个量同时可正可负的变化，才能忽略交叉项。如果两个量都是常量，交叉项必定不能忽略。同号为正，而异号为负，不存在抵消的问题。不确定度论出世以来，把交叉项同“相关系数”联系起来，造成严重的误导。许多人在此误导之下，以为二量不相关就可以忽略交叉项，其实，这是错误的。
本文与前文，笔者也时而有“相关”与“不相关”的说法，那是“借用”或仅仅是针锋相对地辩论，其实本人并没有囿于不确定度论的说教。
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wangyoo2003
发表于 2016-8-18 18:45:11
