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评论：《JJF1001-2011》关于误差算法的误导
—— 随机误差与系统误差的求法与算法
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史锦顺
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（一）误差概念的三层含义
误差的概念，有三层意思：误差元、误差范围，或泛指二者。“分析误差”中的“误差”指误差元；“仪器误差”中的“误差”指误差范围；“误差理论”中的“误差”既包括误差元也包括误差范围。
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1 误差元
误差元定义：测得值减真值。
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通常说：误差等于测得值减真值，这里的“误差”是误差元。误差元，可正可负。
恒值的误差元，称系统误差；随机变化的误差元称为随机误差。系统误差与随机误差，同时存在，只是比例可能不同。当系统误差比重大时，系统误差可以单独表达。随机误差的大小、正负都随时变化，因此随机误差元不能单独表达。
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2 误差范围
误差范围定义：误差元的绝对值的一定概率（大于90%）意义上的最大可能值。
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随机误差是统计变量。随机误差的分散性表征量是标准偏差σ。随机误差范围是3σ（包含概率大于99%）。
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3 误差范围是表征量
误差范围这个表征量，贯通于研制、计量、应用测量三大场合。
误差范围是测量仪器的测得值函数的简化表达，是测得值区间、被测量真值区间的特征值。
测得值与误差范围构成测量结果。
误差范围是计量标准、测量仪器的性能水平的标志。
误差范围是测量技术、计量技术的能力水平的标志。
误差范围又称准确度、准确度等级、极限误差、最大允许误差等。
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（二）误差范围的计算
1 从随机误差元到随机误差范围
测量实践中，人们易于认识随机误差。对常量的重复测量中，测得值的随机变化就是随机误差。
对随机误差，有如下定义与关系：
1）随机误差元等于测得值减测得值的期望值（当无系统误差时，期望值是真值）。随机误差元的期望值是零。随机误差元为：
ξi = Xi - EX （1）
2）标准误差定义为
σ =√(1/N)∑ξi
=√(1/N)∑(Xi-EX) （2）
3）贝塞尔公式用测得值的平均值代换（2）式中的期望值，得到：
σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2} （3）
4）随机误差范围
R(随) = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
=√(1/N)∑(3ξi)^2 （4）
5）由公式（4），有：
R(随)=3σ(ξ)= σ(3ξ) （5）
随机误差元的3倍值（3ξ），其统计意义的方根值等于误差范围值。因此3ξ对误差范围的权重为1。因此3ξ在构成误差范围时与系统误差的权重相同。取系统误差的贡献权重为1，则随机误差元ξ对误差范围的贡献权重为1/3。
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2 单项系统误差元构成的误差范围
系统误差在重复性测量中是恒值。可正可负。测量仪器中的系统误差，已定的也好，未定的也好，凡未修正的，都算。通常，只规定系统误差的最大可能值，而且，在测量仪器的保证使用期内（或允许一年校准一次，即指标保证期为一年），该系统误差的绝对值，不大于给定的指标值。
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1）系统误差单元
βi = EX-Z =β （6）
2）系统误差范围
R(系) =√[1/N]∑(βi)^2]
= |β| （7）
系统误差的单元是β，而系统误差范围是|β|。
单个系统误差对误差范围的贡献是该系统误差的绝对值。
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3 随机误差与系统误差的合成
两个分项误差，一个是随机的，记为ξ，考虑到对误差范围的权重，取单元量为3ξ；一个是系统的（重复测量中不变），记为β。
根据参考文章[1], 代入原公式（13），有
J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)] （8）
系统误差元是常数可以提出来，有
J =(1/N) (3β∑ξi) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]} （9）
大量重复测量（例如N=20，N不得小于10）中，（9）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似为0，可以忽略。“方和根法”成立。
因此随机误差与系统误差合成的公式为
R =√[R(系) ^2+R(随)^2]
=√[β^2 + (3σ)^2] （10）
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由（10）可知：测量误差等于系统误差范围与随机误差范围的“方和根”值。
系统误差、随机误差与测量误差间不存在“和”“差”关系。
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（三）随机误差范围的求法
随机误差范围的求法简单，公式是贝塞尔公式，古老而严格。
取被测量为常量（或变化值可略），重复测量20次（不得少于10次；频率稳定度测量，规定采样次数是100）。将测得的系列测得值代入贝塞尔公式计算，得到单值标准偏差σ。3σ就是随机误差范围。
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（四）系统误差值的求法
4.1 测定系统误差时的操作
测定系统误差的方法是用被测仪器测量计量标准。
设标准的真值为Z，标称值为B，仪器示值为Mi，测量N次（i从1到N）。
1）求平均值M (平)。
2）按贝塞尔公式求单值的σ。
3）求平均值的σ (平)
σ (平) = σ /√N
4）求测量点的系统误差
r (系/视) = M(平)－B （11）
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4.2 测定系统误差时的误差
系统误差的测得值为：
r (系/视) = M (平)-B±分辨力误差
真系统误差（系统误差定义值，以标准的真值为参考）
r(系/真) = EM-Z （12）
则测定系统误差时的误差为
r(系/计) = r(系/视) - r(系/真)
= [M(平) -B]-[EM-Z] ±分辨力误差
=[M(平) -EM]-[ B-Z] ±分辨力误差
=±3σ(平) ±分辨力误差 ± R(标) (13)
测定系统误差的误差，由被测仪器示值的平均值的标准偏差、被测仪器分辨力误差和计量标准的误差合成。可能较大的误差是随机误差，按“方和根法”合成。
测定系统误差时的误差范围为
R (系) =√{[3σ(平)]^2 + [R(标)]^2+[分辨力误差]^2} （14）
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（五）评《JJF1001-2011》关于误差计算的误导
【条文摘抄】
VIM3的2.17条：
NOTE 3 Systematic measurement error equals measurement error minus random measurement error.
-VIM3的2.19条：
NOTE 3 Random measurement error equals measurement error minus systematic measurement error.
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《JJF1001-2011》将《VIM3》之上述条款翻译、抄录为：
5.4 系统误差【VIM 2.17】
注3 系统测量误差等于测量误差减随机测量误差。
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5.6 随机误差【VIM 2.19】
注3 随机误差等于测量误差减系统测量误差。
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【史评】
上面摘抄的《JJF1001》关于随机误差与系统误差的计算方式，是不可行的。
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1 抄自《VIM3》的《JJF1001》条款，是简单的中小学观念，只能大概地说明：系统误差与随机误差共同构成测量误差。不能用于具体计算。测量误差是由随机误差与系统误差合成的，其计算公式为：
R =√[R(系) ^2+R(随)^2]
=√[β^2 + (3σ)^2] （10）
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2 随机误差范围的确定有直接简单的方法；而确定系统误差时有较大的误差（见上节）；因此不能用“注3 随机误差等于测量误差减系统测量误差”来计算随机误差。因此，《JJF1001》的5.6条款的注3是误导。
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3 系统误差的确定，必须在有计量标准的条件下，进行专门的测量。其公式为：
r (系/视) = M(平)－B （11）
系统误差值，既有量值大小，也有正负号；没有计量标准是求不出的。
根据（10）式由系统误差与随机误差确定测量误差的公式，已经将系统误差取绝对值，因此返程计算不能恢复正负号。而且求误差范围是取绝对值的最大值。由（10）式返程计算系统误差β值是行不通的，实际上没法用、也没人用。因此《JJF1001》的5.4条款的注3是误导。
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例如，某测量仪器给出的测量误差范围是0.5%。用户自测随机误差范围是0.3%。如果按《JJF1001》之5.4条款，系统误差为0.2%，这是错误的计算（“方和根”不是加减）。就是按（10）式计算系统误差也不行。因为0.5%是测量仪器指标值，并不是仪器误差范围实际值（实际值小于指标值）。如果是估计系统误差的绝对值的上限可以；但确定系统误差值的目的通常是给出修正值，必须知道正负号，这样计算不行。此计算，是《JJF1001》的误导。
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参考文章
[1] 误差合成的“方根法”—— 测量计量理论与实务探讨（1）
[2] 误差范围（U99）的计算—— 测量计量理论与实务探讨（2）
以上二文载文集《交叉系数是误差合成法的依据——测量计量杂文集（5）》p40（本栏目有）
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补充内容 (2016-4-4 15:07):
（大于90%）应为（大于99%） |
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