-
取3σ与取2σ,误差范围有多大差别?
-
史锦顺
-
用一台仪器测量物理量L。仪器的误差范围为R,测得值为M,测量结果为
LZ= M ± R (1)
测量结果(1)的物理意义是:
被测量真值LZ的最佳表征值是测得值M。被测量的真值可能小些,但不会小于M-R;被测量的真值可能大些,但不会大于M+R。可用公式表达为:
M-R ≤ LZ ≤ M+R (2)
公式(1)与公式(2)等效。它们的区间表达式是:
[M-R,M+R] (3)
区间(3)是以测得值为中心的真值的量值区间。可简化表达为:
[-R, +R] (4)
测量结果表达式(1)的着眼点是区间边界点;而公式(2)的着眼点是全区间。区间边界点定义了区间的范围,因此公式(1)(2)(3)(4)的物理意义相同。
-
(一)测量仪器误差范围的分解与测量
测量仪器的误差范围,对研制来说,是多种物理机制共同构成的。其中可能有多项系统误差元,共同构成仪器的系统误差,表现为测量时的一个恒值误差。仪器的系统误差在N次测量中,符号与大小不变,是个恒定的值。另有一些随机误差元,构成仪器的随机误差。仪器的随机误差是随机变化的,并呈现单峰性、对称性、抵消性、有界性等特点。随机误差的分散性用标准偏差σ表示,取3σ为随机误差范围,有大于99%的包含概率。
-
系统误差为β,若区间半宽a≥|β|,则区间包含概率为100%. 统计理论讲究随机事件,但不排除必然事件。常值是随机变量的一个特定值。处理随机变量的方法、公式,对常量(恒值)都是适用的。这正如,微分主要讲对变量的微分,对常量,也必然能微分,常量的微分为零。积分的产生是为了处理变量的乘积求和问题,但必须对常量也能做积分。把常数提出到积分符号前就可以了。对边长为常值的求矩形面积的公式,积分求和,简化为边长乘积。
同样,适用于随机误差处理的统计方法,也一定而且必须能处理系统误差的问题。
1 平均值 系统误差的平均值是它自身。期望值也是其自身。
2 系统误差为β,则其绝对值是|β|。
3 系统误差β的方根值是其绝对值|β|。
4 系统误差的误差范围是|β|,包含概率100%
5 关于分布。系统误差对于研制-计量-应用测量-周期计量-应用测量等来说,一切沿时间顺序进行,统计是“时域”统计。“时域统计”中,系统误差的分布是δ分布。
说系统误差是“均匀”分布或说是“梯形分布”“三角分布”,都是类比“台域统计”的错觉。这种“台域统计”,是指用多台(例如二十台)仪器同时测量同一被测量,这在测量计量中是不存在的。我们讨论人间的现实,而摈弃一切虚妄的假设。
-
在测量仪器的使用与计量中,测量仪器的误差,就是系统误差与随机误差两项。
测量确定仪器的系统误差,必须有够格的计量标准。一般用户不能做;而计量部门可以而且必须能做。
对仪器随机误差的认识、测量、求值,是很方便的。用被考核的仪器测量一个常量,则示值的随机变化,就是随机误差的作用。重复测量20次(或100次,不许低于10次),将仪器示值代入贝塞尔公式,即求得标准误差σ。 3σ就是通常所取的误差范围,置信度大于99%。而不确定度论主张取2σ,置信度95%。这样做,得失如何?本文讲述一个出人意略的计算结果。
-
(二)仪器误差公式
在有够格的计量标准(因为要准确认知仪器的误差项,要求标准的指标比被检仪器指标高两个量级)的情况下,可以测知仪器的系统误差和随机误差。
仪器的系统误差,测得值为
β测=M平-B (5)
其中测量M平的误差范围为3σ平。
仪器误差范围,由三项误差合成:1 仪器的系统误差β测;2 仪器的随机误差范围3σ;3 测量系统误差的误差(即测量平均值的误差)的误差范围3σ平。三项误差中只有一项是系统误差,三者合成为“方和根”合成。公式为
R实验= √ [β?+(3σ平)?+ (3σ)?] (6)
若取N=20,第二项为第三项的1/20,第二项可略,于是,公式简化为
R实验= √ [β? + (3σ)?] (7)
-
(三)取2σ与取3σ对仪器误差范围R影响的比较
为便于比较与计算,将(7)式变形。R3σ表示取3σ时的误差范围;R2σ表示取2σ时的误差范围。
R3σ = √ [β? + (3σ)?]
=σ√ [(β/σ)?+9] (8)
R2σ= √ [β? + (2σ)?]
=σ√ [(β/σ)?+4] (9)
-
β/σ R3σ/σ R2σ/σ 从3σ到2σ时R变化 从2σ到3σ时R变化
0 3 2 2/3-1=-33% 3/2-1=50%
1 √10=3.16 √5=2.24 2.24/3.16-1=-29% 3.16/2.24-1=41%
2 √13=3.61 √8 =2.83 2.83/3.61-1=-22% 3.61/2.89-1=28%
3 √18=4.24 √13 =3.61 3.61/4.24-1=-15% 4.24/3.61-1=17%
4 √25=5 √20 =4.47 4.47/5-1=-11% 5/4.47-1=12%
5 √34=5.83 √29=5.38 5.38/5.83-1=-8% 5.83/5.38-1=8.4%
6 √45=6.71 √40 =6.32 6.32/6.71-1=-6% 6.71/6.32-1=6%
7 √58=7.62 √53=7.28 7.28/7.62-1=-4.5% 7.62/7.28-1=5%
8 √73=8.54 √68 =8.25 8.25/8.54-1=-3.4% 8.54/8.25-1=3.5%
9 √90=9.49 √85=9.22 9.22/9.49-1=-3% 9.49/9.22-1=3%
(四)GUM降低置信度是方向性错误
随机误差是统计变量,要用统计的方法处理。随机误差的标准偏差σ表征分散性。误差理论历史上,取3σ表征随机误差的误差范围,体现了随机误差的上限性。对于正态分布来说,以3σ为半宽的区间,置信概率是99.73%.由于取样次数有时不远大于10,随机误差可能有t分布的成分,因而,当随机误差范围取3σ时,通常将置信概率表为大于99%.
-
随机误差范围,取3σ,是历史上最通常的取法。有99%以上的置信度,是测量所必要的,也是完全能做到的。二十世纪80年代以前、十九世纪能达到的99%的置信度,是“工欲善其事,必先利其器”、“磨刀不负砍材工”这些重要思想的体现。
奇怪的是,到二十世纪末的1993年,GUM竟然提倡测量仪器的误差范围(扩展不确定度)取2σ,实在是历史性的倒退。在火箭发射成功率达到96%以上的当今世界,测量仪器的置信度却降低到95%,岂有此理!
-
(五)GUM的愚蠢与福禄克的聪明
以上是从主观要求的层面来看问题。实践中,却又是系统误差为主的。所谓从3σ变到2σ,把置信度从99%变到95%(失信率一下子变大5倍,纯正态分布,失信率扩大20倍),并不符合实际情况。GUM误导了评定者。
测量仪器的误差范围,由仪器的系统误差与随机误差共同构成。通常,仪器的误差范围以系统误差为主。而讲究σ,是随机误差的事,与系统误差没有关系。现行的评定扩展不确定度的方法,着眼于“方差”。对仪器的各项系统误差,认为是“均匀分布”,除以根号3(1.73),得标准不确定度,把各项标准不确定度按“方和根法”合成为合成不确定度,于是认为合成不确定度是正态分布(JJF1059.1-2012:1条d)2)假设输出量近似正态分布),乘以2得扩展不确定U95,也可以乘以3得扩展不确定度U99.
如此算法,U95把系统误差的作用无端扩大2/1.73倍;而U99把系统误差作用扩大3/1.73倍。
-
取2σ、3σ仅仅是随机误差的事,与系统误差无关。本文计算表明,在系统误差与随机误差比例取不同值时,从3σ到2σ仪器误差范围的缩小量或从2σ到3σ仪器误差的扩大量,都是变化范围很大的数。
只有在系统误差β很小时,才如通常的理解:从3σ到2σ 误差范围缩小33%,而从2σ到3σ,误差范围扩大50%。
另一个极端是系统误差β很大,当β达到3倍随机误差范围(3σ)时,从3σ到2σ 误差范围缩小3%,而从2σ到3σ,误差范围扩大3%。就是说取2σ还是取3σ,对仪器的误差范围,影响极小。
-
测量仪器通常是以系统误差为主的。GUM声称取2σ,可信性95%,严重丑化了。误导了厂家,误导了用户。愚蠢。
-
在不确定度论的大潮下,福禄克(FULUKE)公司声明:为对广大用户负责,本公司产品一律取置信性99%(取3σ).
福禄克强调高置信度,大方向是对的。自然受用户欢迎。信誉高,产品自然卖得快。而代价有多大呢?由于测量仪器以系统误差为主,见上表,取3σ,仪器误差范围的扩大系数却并不大。费劲小而收益大,好聪明的福禄克!
-
|
|