误差合成的新理论——交叉系数决定合成法（1）...

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                                     误差合成的新理论
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                                                          （2016年7月学术报告稿）
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                                                                                                                             史锦顺
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引言
       误差，表示测得值与实际值的差距。误差的概念，有三层意思：误差元、误差范围，或泛指二者。
       误差元定义为测得值减真值。恒值的误差元，称为系统误差；随机变化的误差元，称为随机误差。
       误差范围定义为误差元的绝对值的一定概率（大于99%）意义上的最大可能值。
       测得值与误差范围构成测量结果。
       误差范围又称为准确度，是测量仪器、计量标准以及测量结果水平的表征量。
       误差合成是由误差元求误差范围。

1 误差合成的原则、途径与方法
       误差量的特点是其绝对性与上限性。误差合成的原则是保险性与合理性。保险第一，合理第二；在保险的基础上追求合理。
       保险的含义是确定的误差范围值要包括误差元的最大可能值。合理的含义是确定的误差范围值要尽可能接近实际值，就是要利用误差量之间存在的抵消性。
       误差量要绝对化，方式有两种。
       第一种方式是直接对误差元取绝对值。经典误差理论对系统误差直接取绝对值，合成取绝对和，保险，但偏于保守。而随机误差可正可负，有相互抵消作用，直接取绝对值不能体现随机误差的特点。第一种方式不能贯通。
       第二种方式是取“方根”。初等数学规定：开平方根取正值。本文提出用“方根法”，可以贯通于随机误差与系统误差。注意保险性与合理性，得出各种使用条件下的误差合成公式。取“方根”，按交叉系数近于1还是近于零来确定公式，可推导出“绝对和”与“方和根”两种方法。交叉系数的取值，体现误差量间的能否抵消的相互关系。         

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       误差合成的途径也有两种。第一种途径是“方差合成”，其基本条件是随机性。 不确定度理论合成的途径是方差合成，其方针是统一采用“方和根法”，对随机误差的处理与经典误差理论相同，没有问题；但对系统误差的处理，出现严重问题。为实行“方和根法”，产生五项难题：1）认知误差量的分布规律、2）化系统误差为随机误差、3）假设不相关、4）范围与方差间的往返折算、5）计算自由度。其中1）很难；2）不可能；3）对系统误差错误；4）与 5）都以 1）为基础，也很难。仔细研究表明：不确定度论认定的“分布”，误把“台间统计”，当成“时域统计”，统计方式错误；而假设“不相关”，对系统误差，是根本性的错误（本文证明：系统误差的交叉系数绝对值是1）。这样，所谓的不确定度合成方式，是走不通的死路。不确定度论的核心概念——合成不确定度，不成立；不确定度论，腰折了。
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       第二种途径是“范围合成”。本文着眼于范围，贯通了两类误差合成的各种情况。要点是统筹随机误差与系统误差的处理，把随机误差元变成是误差范围的直接构成单元。为此，用或正或负的恒值β代表系统误差元；用三倍的随机误差元3ξi 代表随机误差对误差范围的贡献单元。这样，系统误差β与随机误差元3ξ对误差范围的贡献权重相同。于是，公式推导与合成处理，都简洁方便。

       误差合成新理论的要点与特点如下：
       1）体现误差量的两大特点：绝对性和上限性。
       2）通过取方根，实现误差量的绝对值化；可以贯通于随机误差和各种系统误差。
       3）着眼于“范围”。进行各误差元到误差范围的合成；进行分项误差到总误差范围的合成。
       4）由交叉系数决定合成法的选取。避开有歧义的相关系数概念。
       5）合成中，只需辨别误差的性质（随机误差还是系统误差），大系统误差还是小系统误差。不需辨别相关性。与分布无关。
       6）依误差性质、项数的不同，把交叉系数典型化为0或1，由此得到误差合成的具体方法。
       误差合成方法口诀：两三项大系统误差，绝对值相加；再与其他项合成，一律方和根。  
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（未完待续）

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                                   误差合成的新理论
                                              ——交叉系数决定合成法（3）
                                                            （2016年7月学术报告稿）
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                                                                                                                               史锦顺
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4 误差合成的理论基础
       直接测量，由物理机制确定测量方程，给出测得值函数。间接测量的测得值是各直接测量测得值的函数。函数的改变量，等于函数对各个自变量偏微分的和。就是泰勒展开的一级近似。
                  f(x,y) = f(xo,yo)+(?f/?x)(x-xo)+(?f/?y)(y-yo)                           （7）
                  f(x,y) - f(xo,yo) = (?f/?x)Δx+ (?f/?y)Δy                                   （8）
                  Δf = (?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                                    （9）
       公式（9）是偏差关系的普遍形式。对所研究的特定函数来说，?f/?x、?f/?y是常数。
       偏差关系用于测量计量领域，x是测得值，xo是真值, Δx是测得值x的误差元；y是测得值，yo是真值，Δy是测得值y的误差元；f(x,y)是间接测量被测量的函数值，f(xo,yo) 是函数的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函数值的误差元。

5 交叉系数的一般表达
       设函数的误差由两项误差Δx、Δy引起。把分项误差作用的灵敏系数与该项误差归并，记为：
                  (?f/?x)Δx = ΔX  
                  (?f/?y)Δy = ΔY
       函数的误差元式（9）变为：
                  Δf=ΔX+ΔY                                                                          （10）
       误差范围要求绝对化与最大化。绝对化的办法是取方根，最大化要求推导过程中取最大值。
       对（10）式两边平方并求统计平均值：
                  (1/N)∑Δfi2 =(1/N)∑(ΔXi +ΔYi)2
                                  =(1/N)∑ΔXi2 + 2(1/N)∑ΔXiΔYi+(1/N)∑ΔYi2     
                   RΔf2 =RΔX2 +2(1/N)∑ΔXiΔYi+RΔY2                                               (11）
      （11）式右侧的第一项为ΔX范围的平方RΔX2 ；第三项为ΔY范围的平方RΔY 2 ；第二项是交叉项，是我们研究的重点对象。

       交叉项为
                  2(1/N)∑ΔXiΔYi
                          =2 [(1/N)(∑ΔXiΔYi)/(RΔXRΔY)] ×(RΔXRΔY)
                          = 2 J RΔXRΔY                                                                   （12）
       （12）式中的J为：   
                  J =(1/N)(∑ΔXiΔYi) / (RΔXRΔY)                                                    （13）
       称J 为交叉系数。
       当交叉系数为0时误差范围的合成公式变为“方和根”：
                  RΔf=√(RΔX2+RΔY2)                                                                      (14)      
       当交叉系数为+1时误差范围的合成公式变为“绝对和”：
                RΔf=|ΔX| +|ΔY| =RΔX +RΔY                                                           （15）

史老师辛苦了，读您的文章对我来说还是有些费劲，有些词百度都百度不到，所以不敢妄称理解。有几个想请教一下：
1：恒值误差元称为系统误差，说明系统误差不是指一个范围对吧。这个误差元如何测量得到呢？如果按照传统的系统误差的理论，系统误差是一个值（保持不变），也是一个范围（按预定方式变化）。系统误差的值也是一个估计值。你的（2）的3中只是把您认为的系统误差是恒定的描述了一遍，和老的系统误差比较，少了预定方式变化的这个，是否您认为这个也是属于随机误差？
2：看了您老以往的文章，我觉得以前您说的很对，其实在条件保持不变的时候，只有非常高精度的测量才存在会变化的系统误差（绝对会测不准部分的测量），一般碰不到。这篇文章是否不予涉及？抑或我理解错误了？
3：“台间统计”是指不同设备测量结果的统计，“时域统计”是指同一设备不同时间的测量结果统计，这样理解对么？
4：同样是元，因为系统误差恒定，是定值，而随机误差则是存在分布的，是一个区间，请问我这样理解对么？
5：我觉得史老师的系统误差更像是“固有误差”。不考虑参考条件以外的条件了……
非常感谢。

【恒值的误差元，称为系统误差；】？……“系统”误差的‘误差元’ 不 一定是‘恒值’  ，只是其前、后取值有“关联”——包括“在一定范围内近似不变” ；          【 误差合成是由误差元求误差范围。】？……所谓“误差合成”，通常是指由各误差“分量”的“范围”求误差“合成量”的“范围”。或者说，由各“输入”误差的“范围”求“输出”误差的“范围”。

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                                        答solarup先生问
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                                                                                 史锦顺
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【问】
       1：恒值误差元称为系统误差，说明系统误差不是指一个范围对吧。这个误差元如何测量得到呢？如果按照传统的系统误差的理论，系统误差是一个值（保持不变），也是一个范围（按预定方式变化）。系统误差的值也是一个估计值。你的（2）的3中只是把您认为的系统误差是恒定的描述了一遍，和老的系统误差比较，少了预定方式变化的这个，是否您认为这个也是属于随机误差？
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【答】
       误差的概念是个泛指的概念。在不同的语言环境下，有三种含义：误差元、误差范围，或泛指二者。
       误差元定义为测得值减真值，是可正可负的量。
       误差范围定义为误差元绝对值的一定概率（99%）意义上最大可能值。
       任何误差元，取绝对值并取最大值之后，就是误差范围。
       这里的“范围”，是有中心点的区间的半宽，是取值范围，不仅仅是“变化范围”。
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       关于误差的分类，通常的提法是：随机变化的误差称随机误差，恒值或有慢变化的（非随机变化）的误差称为系统误差。
       实际上，系统误差的慢变化，是很小的。可以按“长期稳定度”单独计算。于是，对研究与应用，就可以简化误差类别，那就是主文的说法：“恒值的误差称为系统误差”，“随机变化的误差称为随机误差”。抓住这主要的两项，问题就好处理了。对系统误差的变化部分，我的处理方式是单独处理，但它不是随机误差，不能当成随机误差。
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       系统误差元记为β，它的绝对值一定（恒值），而符号可正可负；按误差范围的定义，将β取绝对值，而最大可能值就是其绝对值。于是，系统误差β的误差范围就等于|β|。
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      如何求系统误差？在仪器研制、生产的场合，在计量场合，都必然有计量标准。够格的计量标准的误差范围可以忽略。于是，可以用计量标准的量值当作真值。测得值的平均值减标准的标称值，就是仪器的系统误差的测得值。
      不确定度论的基本立足点是：真值不可知、误差不可求。这是错误的观点，是误导。
      计量的存在，就是用标准的标称值代表真值。计量的基本业务，就是测得系统误差（测量随机误差很方便）。否定真值，等于否定标准；否定系统误差可求，等于从根本上否定计量。不确定度论的错误说教，是对计量科学与计量事业的背叛。
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      在应用测量的场合，因为没有计量标准，测量者无法确定系统误差值。
      任何测量仪器都有性能指标。测量者根据测量任务的需要，来选用测量仪器。测量仪器的误差范围指标，包括两部分：系统误差和随机误差。而随机误差容易认识。测得值的变化，就是随机误差。可以求得随机误差范围3σ.
       直接测量，就以测量仪器的指标值当测量的误差范围。
       间接测量，要根据测得值函数，求误差元的关系，再合成为误差范围。一个重要方法是用各分项仪器的误差范围值，当作系统误差来合成。第一，仪器的误差范围以系统误差为主；第二，这是按不利情况处理，保险。第三，方便、简洁、够用。
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【问】
       2：看了您老以往的文章，我觉得以前您说的很对，其实在条件保持不变的时候，只有非常高精度的测量才存在会变化的系统误差（绝对会测不准部分的测量），一般碰不到。这篇文章是否不予涉及？抑或我理解错误了？
       3：“台间统计”是指不同设备测量结果的统计，“时域统计”是指同一设备不同时间的测量结果统计，这样理解对么？
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【答】
       理解正确。
       对两种统计方式的理解，十分重要。不确定度论，按“台间统计”，是个原则性的根本性错误。
       不确定度论的核心内容：认知误差分布，求合成不确定度，再求扩展不确定度，其根本思路是“台间统计”；而同时用二十台仪器测量一个量的操作，是脱离人间测量计量实际的天马行空式的空想，这就注定了不确定度论的伪科学本质。
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                                  误差合成的新理论
                                                ——交叉系数决定合成法（5）
                                                             （2016年7月学术报告稿）
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                                                                                                                史锦顺
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8 系统误差与系统误差合成的交叉系数
       设（13）式中ΔX为系统误差βx ，ΔY为系统误差βy，有
                 RΔX=√[(1/N)∑ΔXi2]= |βx|                                                （19）
                 RΔY=√[(1/N)∑ΔYi2]= |βy|                                                （20）
       则系统误差的交叉系数为
                 J =(1/N)(∑βxiβyi) / [|βx| |βy|]   
                    =βxβy / [|βx||βy|]
                    =±1                                                                            （21）  
       即有
                 |J|=1                                                                              （22）
       当βx与βy同号时，系统误差的交叉系数J为+1；当βx与βy异号时，系统误差的交叉系数J为-1。
       当系统误差的交叉系数为+1时，（11）式变为：
                 RΔf2 =|βx2|+2|βx||βy|+|βy|2 =(|βx|+|βy|)2  
即有
                 RΔf = |βx|+|βy|                                                                （23）
      （23）式就是绝对值合成公式。简称“绝对和” 。
       当系统误差的交叉因子为-1时，（23）式变为二量差的公式。因为通常只是知道系统误差之误差范围，又鉴于误差量“上限性”的特点，误差范围要求取最大可能值，二量差的公式不能用。
       测量仪器的误差范围指标值因以系统误差为主，要视其为系统误差值，按系统误差处理（按不利情况处理）。
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9 关于合成方法的主张
       通常，测量仪器以系统误差为主。考虑到系统误差、随机误差都是客观存在，提出如下主张：
       1）随机误差范围之间，用“方和根法”。
       2）随机误差范围与系统误差范围之间，用“方和根法”。
       3）有多项中小系统误差项，仅有一项大系统误差（或没有大系统误差），它们之间的交叉系数，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，这样，可以用“方和根法”。
       4）直接测量仅有两三项系统误差，要用“绝对和法”（适用于研制中确定仪器指标）。
       5）间接测量，有两三项仪器的误差范围，要用“绝对和法”。
       6）有多项误差，在两项或三项大系统误差之间用“绝对和法”，其余的各种处理，用“方和根法”。总称谓是“混合法”。
       误差合成概要：在两项（或三项）大系统误差间取“绝对和”，此和值再与其他各项一起取“方和根”。
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                                    从贝塞尔公式到皮尔逊公式
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                                                                                                史锦顺
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1 贝赛尔公式的推导
       某物理量X测量N次，测得值为Xi，i从1到N。平均值为：
              X平=（1/N）∑Xi                                                                （1）
       经典测量理论认为，物理量有唯一的真值。测量仪器不可避免地存在系统误差与随机误差，多次测量取平均值，可以减小随机误差。平均值的极限称期望值。记期望值为E
               E= lim(M→∞)X平                                                            （2）
       方差为：
               DX= lim(M→∞)(1/N)∑(Xi-E)2                                            （3）   
       方差是取极限的过程，实用不方便，为此定义标准方差为：
               σ2=(1/N)∑(Xi-E)2                                                             （4）
       可见，标准方差是方差的无偏估计。（A的极限是 B，称A是B的一个无偏估计。）标准方差比方差少了一个取极限过程，但式中包含的E仍是个取极限的过程，实用中仍不好办；为此寻找平均值与期望值的关系，以便用平均值代替期望值，这样就可以用测量值来计算标准方差了。完成这一代换的是著名的贝赛尔公式。现推导如下。
       令：
              di=Xi-E          （随机误差）                                               （5）      
              vi= Xi-X平       （随机残差）                                              （6）
       要以平均值代替期望值，就是以vi代替di。现在找vi与di之间的关系。
       对（5）式求和：
             ∑di=∑Xi-NE
             ∑Xi=∑di+NE
             X平=(1/N)∑Xi=(1/N)∑di+E
        
代入（6）
             vi=Xi- (1/N)∑di-E=(Xi-E)-(1/N)∑di=di-(1/N)∑di
平方
             vi2=di2-2(1/N)di∑di+(1/N2)(∑di)2

求和：
             ∑vi2=∑di2-2(1/N)(∑di)2+N(1/N2)(∑di)2
                  =∑di2-(1/N)[∑di2+∑didj(i≠j)]                                          （7）
                                                               
       当N足够大时，各didj因随机误差分布的对称性而相互抵消，即 ∑didj(i≠j)可略。于是有
               ∑di2=[N/(N-1)]∑vi2                                                           （8）
       注意，随机误差di = Xi-E ，将(8)式代入(4)式，即得贝赛尔公式：
               σ=√ { [1/(N-1)]∑(Xi-X平)2  }                                                （9）
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2 皮尔逊相关系数公式的推导
       交叉系数J的基本公式为：
              J =(1/N)(∑ΔXiΔYi) / (RΔXRΔY)               （史文公式13）
       由贝塞尔公式的推导，有关系：
               ∑di2=[N/(N-1)]∑vi2                                                           （8）
      （8）式变形为
                ∑di2=∑[N/(N-1)] vi2
       去掉求和号
                di2=[N/(N-1)] vi2
       由上，并分析误差、残差定义，可知
                di= vi √[N/(N-1)]
       换成本文符号
               ΔXi=√[N/(N-1)] (X-X平)                                                    （10）
               ΔYi=√[N/(N-1)] (Y-Y平)                                                    （11）   
       （10）（11）代入（史文13），分子为：
               (1/N) [N/(N-1)] (X-X平) (Y-Y平)
              分子 = [1/(N-1)] (X-X平) (Y-Y平)                                         （12）
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       分母
       由贝塞尔公式的推导，有关系：
              ∑di2=[N/(N-1)]∑vi2                                                             （8）
      （8）式变形为
              (1/N)∑di2=[1/(N-1)]∑vi2                                                      （13）
       左侧为σ真2；右侧为σ2。故有   
               σ真 = σ
       即RΔX=σX； RΔY=σY 。代入（史文13），将（12）式也代入（史文13），则公式（史文13）变为
                J=[1/(N-1)][∑[Xi-X平][(Yi-Y平)] / [σXσY]                              （14）
       式（14）就是皮尔逊相关系数公式。
       皮尔逊公式对系统误差的灵敏度为零。
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       由以上推导可知，皮尔逊公式是对随机误差而推导的公式。皮尔逊公式与系统误差无关。不能用皮尔逊公式分析系统误差的相关性问题。
       VIM、GUM、JJF1001、JJF1059关于系统误差相关性判别的条款，都是错误的。
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补充内容 (2016-8-30 15:43):
公式（2）（3）中的lim(M→∞)改为lim(N→∞)

学习中，非常感谢。
6 随机误差间合成的交叉系数
       对随机误差的合成，若着眼于“方差量”，ΔX是ξx, 代换为[X-X平]；ΔY是ξy，代换为[Y-Y平]，有：
                   J=[1/(N-1)][∑[Xi-X平][(Yi-Y平)] / [σXσY]                           （16）
       由于ξx 、ξy 是随机误差，可正可负，可大可小，有对称性与有界性，多次测量，是大量的，因此，随机误差间的合成的交叉系数为零（或可以忽略）。（15）式是当前不确定度论引用的统计理论的相关系数公式（皮尔逊公式）。这个公式对随机误差是对的；对系统误差，不成立（不能代换）。（16）式对系统误差必为零。

这里对交叉系数的论述非常赞，之前重未深入想过，我这么理解您看可对？
Xi=真值+A(系统误差）+Bi（随机误差） ，则 X平=真值+A(系统误差）+B平（随机误差），系统误差为恒量的话，也就是说测试结果的短期重复性波动其实就是随机误差造成的。那么Xi-X平=Bi-B平，而交叉系数J是0是1其实是由分子造成的，所以可认为交叉系数是不是0，即相不相关，完全是由随机误差决定的（假设完全不相关[Xi-X平]和[(Yi-Y平)正负号随意，在无穷多次测试中这个量必然趋于0），而在分母中σ=√{[1/(N-1)]∑(Xi-X平)2} 也包含 Xi-X平项，即系统误差也被消除了，那么。那么是否可以理解为系统误差和交叉系数J没有影响呢？

还有个问题是A(系统误差）在每次测量中都和真值在一起，该如何确认哪部分是系统误差呢？（如果不区分系统误差和随机误差那么分类合成就很空了），而假设如果确认了系统误差的值，由于系统误差是定值，那么是否可以直接对测试结果进行修正，或者说，可知的系统误差是否应该直接修正掉，而不引人误差计算呢？

Xi=真值+A(系统误差）+Bi（随机误差），∑Xi/N，N为无穷多次测量虽然可以消除随机误差，而由于真值不知，故系统误差不知，而用标准器测试真值给出其约定真值后，可得系统误差，这系统误差是定值，个人认为可提出误差计算，最后加上，而使用了标准器测试约定真值又引入误差------后面不懂了~

说实话，这么一看我自己都感觉意外，因为在我以前的理解中，一直认为交叉系数，或者说不确定度中的相关系数是由于系统误差造成的。比如拿一把卡尺测面积的长和宽，那么就会相关，拿两把分别测则不相关。。。。。。怎么感觉是拿一把卡尺有相同的系统误差才造成相关的，随机误差难道有规律？不然怎么相关呢？。。不解。。。我前面理解错了嘛？求教！谢谢！

补充内容 (2016-8-25 10:25):
而 J=[1/(N-1)][∑[Xi-X平][(Yi-Y平)] / [σXσY]   ，就是不确定度相关系数的求法，按前面推导，那么不确定度合成中是默认系统误差不相关嘛？

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       看了你的帖子，知道你在认真思考。我写文章，费力宣传自己的学术观点，但认真读的人不多。你在认真读、认真想，我总算没白费劲。你算我的知音之一，我很高兴。
      
1 关于系统误差的交叉系数公式
       现代误差理论与不确定度论用的相关系数公式，是就随机误差的特殊情况而推导出来的，仅仅对随机误差成立，对系统误差不成立。因此，不能用皮尔逊公式来说明和讨论关于系统误差的“交叉系数”或相关性问题。VIM与JJF关于系统误差的相关性问题，全部都是错误的。
       随机误差的参考值是平均值；而系统误差的参考值是真值，二者起始点不同，交叉系数公式（以往叫相关系数公式）完全不一样。系统误差的交叉系数，仅有-1与+1两种可能。二项和的平方展开式中，不可能没有交叉项；而系统误差是“正”或“负”的恒值，没有像随机误差那种抵消的问题，说“相关”“不相关”是误导。
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2 关于修正
       不确定度论，所述“修正”，是误导的一种。
       真值是可知的，系统误差是可知的（计量标准的值就是相对真值，有计量标准就可以求得系统误差）。不确定度论把系统误差分为“已定”与“未定”两种，进而说“已定”的修修正了，“未定的”按不确定度处理。这是一个大的歧途和误导。
       仪器的系统误差是客观存在，研制者、计量者有计量标准，是必然知道系统误差的。但仪器通常是不修正的。一台测量仪器有几十万个测量点，几个修正点，杯水车薪，修正对99%的测量仪器行不通。
       测量者，知道所用仪器的误差范围是必然的（选用仪器）。而仪器的误差是以系统误差为主的。因此，应用者以仪器的指标（误差范围）作为系统误差，用于误差合成处理，是方便合理的。
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　　我还是认为，误差和不确定度两者定义不同，来源不同，特性不同，使用目的也不同，讨论误差合成就不要与不确定度的合成搅合在一起。在一组测量结果中会有一组测量误差，一组测量结果有算术平均值，也有有分散性。其平均值偏离被测量真值的距离为系统误差，一组测量结果的分散性被认为是随机误差，误差有正负之分。不确定度就是人们对真值可能存在区间宽度的估计值，用宽度的一半来表示，宽度恒为正，每一个测量方法或测量结果只有一个测量不确定度，无法再区分系统不确定度和随机不确定度。怎么能够用误差合成的理论去评价不确定度合成的对错呢？