-
史氏测量计量学说(6)
——第5章 误差范围与误差合成
-
史锦顺
-
（一）误差量的特点
误差，表明测得值与实际值（被测量的真值）的差距。误差是个泛指的概念，包括误差元与误差范围两个概念。
误差元等于测得值减真值。误差元是误差概念的基本单元，表明误差的物理意义与计算方法，是误差理论的基础。但对一项测量计量的表达对象，误差元是可正可负、有大有小的量，不便直接表达与应用。
误差量的特点是它的上限性。取误差元的绝对值，就去掉了误差元的正负号；取误差元的绝对值的一定概率（99%）意义下的最大可能值，就把误差元的多个可能值，变成了一个值，这个值就是误差范围。
误差范围体现了误差量的特点，简单、够用；它被应用于研制、计量、测量三大场合。研制是用计量标准与物理机制建立仪器的误差范围；计量靠计量标准检验、公证仪器的误差范围；测量是利用误差范围。人们用经过计量合格的测量仪器进行测量，在得到测得值的同时，知道了该测得值的误差范围不超过测量仪器误差范围的指标值，只要测量仪器的误差范围指标满足要求，人们就得到了够格的测量结果，达到了测量的目的。
-
将误差元变成误差范围，称为误差合成。误差合成的任务就是两条：去掉诸误差元的正负号；找到诸误差元共同作用产生的总误差元的绝对值的最大可能值。
一般量的特点是“双限性”，就是不能过大，也不能过小。而误差量不同，对误差量的要求是不能过大，而越小越好。这是误差量的“上限性”。因为误差元有正有负，所谓误差大、误差小，是只论绝对值，而不管正负号。
考虑、选取误差合成的方案，特别要注意误差量的上限性。本书基于误差量“上限性”的特点，提出“取绝对和好”的判断。
-
（二）误差范围与两个区间
通常的函数关系，是函数与自变量一一对应。测量计量理论的函数关系，却是一个自变量对应函数的一个区间。误差范围是函数区间的半宽。
误差元等于测得值减真值；误差范围是误差元的绝对值的一定概率意义下的最大可能值。有这两个定义，第4章推导了两个区间的公式。
研制、计量中用的测得值区间为：
Z-R ≤ M ≤ Z+R （4.9）
Z是被测量的量值（真值），M是测得值，R是误差范围。
测量中用的被测量量值区间为：
M-R ≤ Z ≤ M+R （4.15）
以上两个区间公式，即测得值公式与真值公式，是把误差范围的定义的最大值符号max去掉推导的结果，表明区间中全部量值点的关系，物理意义明确，表达完备。另有一种最常用的表达方式，那就是着眼点于区间边界点，而得出的公式，有最简洁的形式，而实际内容，与上二式等效。推导时不去掉最大值符号max，着眼点于区间边界，即只用等号。
-
A 测得值区间公式
基本公式
│M – Z│max = R
只着眼最大点，有
│M – Z│ = R （5.1）
解绝对值方程（5.1）
当M＞Z时，有
M(大)=Z+R （5.2）
当M＜Z时，有
M(小)=Z-R （5.3）
综合（5.2）式、（5.3）式，有
M = Z±R （5.4）
M(大)等于区间上边界点，M(小)等于区间下边界点。M的整个区间为：
Z-R ≤ M ≤ Z+R （4.9）
-
B 真值区间公式
基本公式
│M – Z│max = R
只着眼最大点，有
│M – Z│ = R （5.1）
解绝对值方程（5.1）
当M＞Z时，有
Z(小) = M-R （5.5）
当M＜Z时，有
Z(大) = M+R （5.6）
综合（5.5）式、（5.6）式，有
Z = M±R （5.7）
Z(大)等于区间上边界点，Z(小)等于区间下边界点。Z的整个区间为：
M-R ≤ Z ≤ M+R （4.15）
-
（三） 误差范围的人、绳、狗模型
真值、测得值、误差元与误差范围的关系，可以比喻为人、绳、狗的关系。
真值比做人，测得值比做狗，误差就是人与狗的距离。人狗的位置差，时刻在变化，但距离的最大值被绳长所限制。绳长比做误差范围，是个单一值；人与狗的距离比做误差元，从零可变到绳的长度。
固定人的位置，狗活动在以人为圆心、以绳长为半径的圈内。这像研制与计量中的测得值区间。测得值区间以真值为中心、以误差范围为半宽。
某时观测到狗的位置，则人必在以狗为圆心，以绳长为半径的圈内。这像测量中的真值区间。被测量的量值区间（真值区间）以测得值为中心、以误差范围为半宽。
绳长限制了人与狗的距离。知道人的位置，可以找到狗；同样，知道狗的位置，也可以找到人。
同一误差范围，贯穿于测得值区间与被测量量值区间这两个区间中，是测得值与真值之间变换换的基础。研制中，确立真值到测得值的变换；测量中，利用测得值到真值的变换。误差范围决定两个变换的质量，也就是决定测量的水平。
-
测量仪器的误差范围，在生产时被造就，而在计量时，被公证。能确认误差范围之值，是因为计量中有标准。而标准之标称值，可视为真值。定标时、计量时的测得值区间，是测量仪器的特性，它确定了测得值对真值的关系。测量仪器的这个特性，在测量中将表现出来，即表达测得值与真值的关系，因此可由测量中得到的测得值来确定被测量的真值。
研制与计量中，依靠真值确认误差范围；测量中由已知的误差范围与测得值而得知被测量的量值。测量结果是测得值加减误差范围，被测量的真值包含在测量结果中。
-
（四）误差范围的重要性
1 误差范围是测量仪器的测得值函数的简化表达；
2 误差范围是测量仪器性能的表征；误差范围指标值是测量仪器水平的标志
3 计量是对测量仪器误差范围的检验与公证。计量的作业是求得被检仪器的实际误差范围值；仪器计量合格，就是指仪器的误差范围的实际值不大于仪器的误差范围指标值。
4 误差范围是测量中真值函数的简化表达。
5 测得值与误差范围共同构成测量结果。标志测量水平的是误差范围。在满足仪器使用条件、正确操作的条件下，测量者用测量仪器的误差范围指标值，当作测得值的误差范围，是合理的、冗余的代换。因此，人们选用误差范围指标够格的测量仪器进行测量，在得到测得值的同时，也知道了测得值的误差范围。被测量的真值包含在测量结果中。于是人们就达到了测量的目的。
-
测量仪器的误差范围指标（准确度），是仪器生产的目标，是计量合格性判别的标准，是使用者选用仪器与表示测量结果的依据。测量仪器的研制、生产、使用，用一个误差范围指标（准确度）贯穿起来，是人类社会的组织效果，是人类文明的一种体现。
-
（五）误差合成方法的比较
误差合成，主要用于三种场合。研制测量仪器时，依据仪器的测量方程，把构成总误差的各个测量因素，合成为总误差范围。直接测量时，依据直接测量的测量方程，把随机误差、各项系统误差合成为总误差范围。间接测量时，依据间接测量的函数关系公式，把各个直接测量的误差范围，合称为总误差范围。
误差合成有三种方法。
（1）混合法
历史上，标准的研制、测量仪器的研制，误差合成大都用混合法。就是对随机误差与项目较多的小的系统误差，用方和根法；而对少数几项大的系统性误差，用绝对和法。这是一种直观的判断，没有这方面的严格分析。历史证明，混合法基本可用。
（2）方和根法
取各项平方和的根。
各量和的平方，等于各量平方的和再加上交叉乘积项之和。交叉乘积项之和可以忽略的条件是各量独立而不相关。随机误差一般可认为是不相关的。由于测量仪器不仅有随机误差，还有系统误差，而且系统误差通常占主导地位，如何判别相关性，就是个难题。
主张采用方和根法，是当代的主流；但实际是一种行不通的空想。
他们讲道理时说，当分项间不独立时，要计及相关系数，要计算协方差。而计算相关系数、计算协方差，极其麻烦。怎办？通常都是设“独立”、“不相关”；这是掩耳盗铃的作法。不确定度理论推广以来，对通常的相关或部分相关的情况，都按“不相关”处理，这是错误的。
所谓用“相关系数公式判别相关性”实际是行不通的。相关系数公式仅仅对随机误差才成立，包含有系统误差的场合，相关系数公式不成立。现有的相关系数公式对系统误差的灵敏度为零。一般仪器是以系统误差为主的，而相关系数又与系统误差无关，这样，所谓相关性判别，实际是没法计算的。大量规范、文件、书籍所说的“假定不相关”，都是不符合实际的。是掩耳盗铃。方和根法所要求的条件不成立，方法本身就没有理论基础。
-
（3）绝对和法
各项分项误差，绝对值相加。
绝对和法的优点：
1 符合误差量上限性的特点，不要求条件、保险。
2 符合最基本的数学原理（数学手册方法）。
3 实际性能到性能指标有余量，信誉高。
4 好算，设计者欢迎。
5 有余量，合格性的临界状态少，计量易判别。
6 可靠，测量者欢迎。
7 鉴定会容易通过。
8 促进提高仪器性能。
-
（六）绝对和法的一般表达
绝对和法就是各项取绝对值后相加。
绝对和法就是各分项误差范围（都是正值）相加。
设测得值函数为
M = f(X1,X2,X3)
泰勒展开的一阶项是
ΔM = (?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3
误差范围为：
R =│ΔM│max
=│(?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3│max
=│?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max
=│?f/?X1│R1 + │?f/?X2│R2 + │?f/?X3│R3
= R(1) + R(2) + R(3)
-
（七）绝对值合成法的常用公式
以下公式，参照《数学手册》（科学出版社，1980版）编写。这是六项最基本的误差范围合成公式。可惜，这些最基本的知识，一些人，包括某些专家，竟不知道。他们怎样计算呢？一律取方和根。不仅不确定度论如此；一些误差理论书也如此。前面讲过，取方和根法的条件“不相关”，在有系统误差的条件下，相关系数公式不成立。因此，方和根法没有理论基础。
不确定度论指谪误差理论没有统一的误差合成方法，从而主张一律取方和根。这是一条走不通的难路、死路。
鉴于误差量的“上限性”的特点，笔者认为经典测量理论的“绝对值合成法”，是简单的、现实可行的、保险的；也是合理的、正确的。
本章以数学的形式，推导绝对合成的公式，说明经典方法的严格性、合理性。须知：误差合成是仪器设计者、测量方案设计者自己的事，这样做，自己方便、有利别人，是严于律己的做法，易懂易学、处理方便又保险，何乐而不为之？也许有人说，这样做，于己可以；要求别人，就不合理了。
计量时，是要求别人。但是，计量靠的是标准，靠的是实测，计量对被捡对象的合格性判别，与误差合成方法无关。
如果某些特定场合，需要进行误差合成，最可信的方法是绝对值合成。
本书推荐最基本的六大公式。好记，好用。
1 和的误差公式
定理一：二量和的误差范围，等于二量的误差范围之和。
证明
1.1物理公式
C=A+B
1.2计值公式
对物理公式加标号，m表测得值（下同）
Cm=Am+Bm
1.3测量方程
联立物理公式与计值公式
Cm-C =Am-A+Bm-B
1.4 误差范围关系
用r表误差元，R表误差范围（下同）
由测量方程
r(C)=r(A)+r(B)
│r(C)│max=│r(A)+ r(B)│max
=│r(A)│max+│r(B)│max
误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
R(C)=R(A)+R(B)
定理一得证。
-
2 差的误差公式
定理二：二量差的误差范围，等于二量的误差范围之和（不是差）。
证明
2.1 物理公式
A=C-B
2.2 计值公式
Am = Cm-Bm.
2.3 测量方程
联立物理公式与计值公式
Am-A = Cm-C – (Bm-B)
2.4 误差范围关系
由测量方程
r(A)=r(C)-r(B)
│r(A)│max=│r(C)- r(B)│max
=│r(C)│max+│r(B)│max
误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
R(A)=R(C)+R(B)
定理二得证。
-
3 积的误差公式
定理三：二量积的相对误差范围，等于二量的相对误差范围之和。
证明
3.1 物理公式
C = A B
3.2 计值公式
Cm = Am Bm
3.3 测量方程
联立物理公式与计值公式，解得
Cm/ C = A m Bm/(A B)
3.4 误差范围关系
由测量方程
(C+ΔCm)/C = [(A+ΔAm)/A] [(B+ΔBm)/B]
1+δr(C) =[(1+δr(A))][1+δr(B)]
δr(C) =δr(A) +δr(B)
│δr(C)│max =│δr(A)│max+│δr(B)│max
误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
δR(C)=δR(A)+δR(B)
定理三得证。
-
4 商的误差公式
定理四：二量相除，商的相对误差范围，等于二量的相对误差范围之和。
证明
4.1 物理公式
A = C / B
4.2 计值公式
Am = Cm / Bm
4.3 测量方程
联立物理公式与计值公式，解得
Am/ A = [Cm /Bm] B/C
4.4 误差范围关系
由测量方程
(A+ΔAm)/A = [(C+ΔCm)/C] / [(B+ΔBm)/B]
1+δr(A) =[(1+δr(C))] / [1+δr(B)] =[(1+δr(C)] [1-δr(B)]
δr(A) =δr(C) -δr(B)
│δr(A) │max=│δr(C) -δr(B) │max =│δr(C) │max +│δr(B) │max
误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
δR(A)=δR(C)+δR(B)
定理四得证。
5 幂的误差公式
定理五：A等于B的n次方，则A的误差范围等于B的误差范围的n倍。
证明
5.1 物理公式
A =B^n
5.2 计值公式
Am = Bm^n
5.3测量方程
联立物理公式与计值公式，解得
Am /A= Bm^n/B^n
5.4 误差范围关系
由测量方程
(A+ΔAm)/A = (Bm/B)^n= [1+δr(B)]^n
1+δr(A) = 1+nδr(B)
δr(A) = nδr(B)
│δr(A) │max=│nδr(B) │max = n│δr(B) │max
误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
δR(A)= nδR(B)
定理五得证。
6 根的误差公式
定理六：A等于B的n次方根，则A的误差范围等于B的误差范围的1/n倍。
证明
6.1 物理公式
A =B^(1/n)
6.2 计值公式
对物理量加标号，m表测得值
Am = Bm^(1/n)
6.3 测量方程
联立物理公式与计值公式，解得
Am /A= Bm^(1/n) / B^(1/n)
6.4 误差范围关系
r表误差元，R表误差范围。
(A+ΔAm)/A = (Bm/B)^ (1/n)= [1+δr(B)]^ (1/n)
1+δr(A) = 1+(1/n)δr(B)
δr(A) = (1/n)δr(B)
│δr(A) │max=│(1/n)δr(B) │max = (1/n)│δr(B) │max
故有：
δR(A)=(1/n)δR(B)
定理六得证。
- |
