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取3σ与取2σ，误差范围有多大差别？
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史锦顺
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用一台仪器测量物理量L。仪器的误差范围为R，测得值为M，测量结果为
LZ= M ± R （1）
测量结果（1）的物理意义是：
被测量真值LZ的最佳表征值是测得值M。被测量的真值可能小些，但不会小于M-R；被测量的真值可能大些，但不会大于M+R。可用公式表达为：
M-R ≤ LZ ≤ M+R （2）
公式（1）与公式（2）等效。它们的区间表达式是：
[M-R,M+R] （3）
区间（3）是以测得值为中心的真值的量值区间。可简化表达为：
[-R, +R] （4）
测量结果表达式（1）的着眼点是区间边界点；而公式（2）的着眼点是全区间。区间边界点定义了区间的范围，因此公式（1）（2）（3）（4）的物理意义相同。
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（一）测量仪器误差范围的分解与测量
测量仪器的误差范围，对研制来说，是多种物理机制共同构成的。其中可能有多项系统误差元，共同构成仪器的系统误差，表现为测量时的一个恒值误差。仪器的系统误差在N次测量中，符号与大小不变，是个恒定的值。另有一些随机误差元，构成仪器的随机误差。仪器的随机误差是随机变化的，并呈现单峰性、对称性、抵消性、有界性等特点。随机误差的分散性用标准偏差σ表示，取3σ为随机误差范围，有大于99%的包含概率。
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系统误差为β，若区间半宽a≥|β|，则区间包含概率为100%. 统计理论讲究随机事件，但不排除必然事件。常值是随机变量的一个特定值。处理随机变量的方法、公式，对常量（恒值）都是适用的。这正如，微分主要讲对变量的微分，对常量，也必然能微分，常量的微分为零。积分的产生是为了处理变量的乘积求和问题，但必须对常量也能做积分。把常数提出到积分符号前就可以了。对边长为常值的求矩形面积的公式，积分求和，简化为边长乘积。
同样，适用于随机误差处理的统计方法，也一定而且必须能处理系统误差的问题。
1 平均值 系统误差的平均值是它自身。期望值也是其自身。
2 系统误差为β，则其绝对值是|β|。
3 系统误差β的方根值是其绝对值|β|。
4 系统误差的误差范围是|β|，包含概率100%
5 关于分布。系统误差对于研制-计量-应用测量-周期计量-应用测量等来说，一切沿时间顺序进行，统计是“时域”统计。“时域统计”中，系统误差的分布是δ分布。
说系统误差是“均匀”分布或说是“梯形分布”“三角分布”，都是类比“台域统计”的错觉。这种“台域统计”，是指用多台（例如二十台）仪器同时测量同一被测量，这在测量计量中是不存在的。我们讨论人间的现实，而摈弃一切虚妄的假设。
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在测量仪器的使用与计量中，测量仪器的误差，就是系统误差与随机误差两项。
测量确定仪器的系统误差，必须有够格的计量标准。一般用户不能做；而计量部门可以而且必须能做。
对仪器随机误差的认识、测量、求值，是很方便的。用被考核的仪器测量一个常量，则示值的随机变化，就是随机误差的作用。重复测量20次（或100次，不许低于10次），将仪器示值代入贝塞尔公式，即求得标准误差σ。 3σ就是通常所取的误差范围，置信度大于99%。而不确定度论主张取2σ，置信度95%。这样做，得失如何？本文讲述一个出人意略的计算结果。
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（二）仪器误差公式
在有够格的计量标准（因为要准确认知仪器的误差项，要求标准的指标比被检仪器指标高两个量级）的情况下，可以测知仪器的系统误差和随机误差。
仪器的系统误差，测得值为
β测=M平-B （5）
其中测量M平的误差范围为3σ平。
仪器误差范围，由三项误差合成：1 仪器的系统误差β测；2 仪器的随机误差范围3σ；3 测量系统误差的误差（即测量平均值的误差）的误差范围3σ平。三项误差中只有一项是系统误差，三者合成为“方和根”合成。公式为
R实验= √ [β?+(3σ平)?+ (3σ)?] （6）
若取N=20，第二项为第三项的1/20，第二项可略，于是，公式简化为
R实验= √ [β? + (3σ)?] （7）
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（三）取2σ与取3σ对仪器误差范围R影响的比较
为便于比较与计算，将（7）式变形。R3σ表示取3σ时的误差范围；R2σ表示取2σ时的误差范围。
R3σ = √ [β? + (3σ)?]
=σ√ [(β/σ)?+9] （8）
R2σ= √ [β? + (2σ)?]
=σ√ [(β/σ)?+4] （9）
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β/σ R3σ/σ R2σ/σ 从3σ到2σ时R变化 从2σ到3σ时R变化
0 3 2 2/3-1=-33% 3/2-1=50%
1 √10=3.16 √5=2.24 2.24/3.16-1=-29% 3.16/2.24-1=41%
2 √13=3.61 √8 =2.83 2.83/3.61-1=-22% 3.61/2.89-1=28%
3 √18=4.24 √13 =3.61 3.61/4.24-1=-15% 4.24/3.61-1=17%
4 √25=5 √20 =4.47 4.47/5-1=-11% 5/4.47-1=12%
5 √34=5.83 √29=5.38 5.38/5.83-1=-8% 5.83/5.38-1=8.4%
6 √45=6.71 √40 =6.32 6.32/6.71-1=-6% 6.71/6.32-1=6%
7 √58=7.62 √53=7.28 7.28/7.62-1=-4.5% 7.62/7.28-1=5%
8 √73=8.54 √68 =8.25 8.25/8.54-1=-3.4% 8.54/8.25-1=3.5%
9 √90=9.49 √85=9.22 9.22/9.49-1=-3% 9.49/9.22-1=3%
（四）GUM降低置信度是方向性错误
随机误差是统计变量，要用统计的方法处理。随机误差的标准偏差σ表征分散性。误差理论历史上，取3σ表征随机误差的误差范围，体现了随机误差的上限性。对于正态分布来说，以3σ为半宽的区间，置信概率是99.73%.由于取样次数有时不远大于10，随机误差可能有t分布的成分，因而，当随机误差范围取3σ时，通常将置信概率表为大于99%.
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随机误差范围，取3σ，是历史上最通常的取法。有99%以上的置信度，是测量所必要的，也是完全能做到的。二十世纪80年代以前、十九世纪能达到的99%的置信度，是“工欲善其事，必先利其器”、“磨刀不负砍材工”这些重要思想的体现。
奇怪的是，到二十世纪末的1993年，GUM竟然提倡测量仪器的误差范围（扩展不确定度）取2σ，实在是历史性的倒退。在火箭发射成功率达到96%以上的当今世界，测量仪器的置信度却降低到95%，岂有此理！
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（五）GUM的愚蠢与福禄克的聪明
以上是从主观要求的层面来看问题。实践中，却又是系统误差为主的。所谓从3σ变到2σ，把置信度从99%变到95%（失信率一下子变大5倍，纯正态分布，失信率扩大20倍），并不符合实际情况。GUM误导了评定者。
测量仪器的误差范围，由仪器的系统误差与随机误差共同构成。通常，仪器的误差范围以系统误差为主。而讲究σ，是随机误差的事，与系统误差没有关系。现行的评定扩展不确定度的方法，着眼于“方差”。对仪器的各项系统误差，认为是“均匀分布”，除以根号3（1.73），得标准不确定度，把各项标准不确定度按“方和根法”合成为合成不确定度，于是认为合成不确定度是正态分布（JJF1059.1-2012：1条d）2)假设输出量近似正态分布），乘以2得扩展不确定U95，也可以乘以3得扩展不确定度U99.
如此算法，U95把系统误差的作用无端扩大2/1.73倍；而U99把系统误差作用扩大3/1.73倍。
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取2σ、3σ仅仅是随机误差的事，与系统误差无关。本文计算表明，在系统误差与随机误差比例取不同值时，从3σ到2σ仪器误差范围的缩小量或从2σ到3σ仪器误差的扩大量，都是变化范围很大的数。
只有在系统误差β很小时，才如通常的理解：从3σ到2σ 误差范围缩小33%，而从2σ到3σ，误差范围扩大50%。
另一个极端是系统误差β很大，当β达到3倍随机误差范围（3σ）时，从3σ到2σ 误差范围缩小3%，而从2σ到3σ，误差范围扩大3%。就是说取2σ还是取3σ，对仪器的误差范围，影响极小。
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测量仪器通常是以系统误差为主的。GUM声称取2σ，可信性95%，严重丑化了。误导了厂家，误导了用户。愚蠢。
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在不确定度论的大潮下，福禄克（FULUKE）公司声明：为对广大用户负责，本公司产品一律取置信性99%（取3σ）.
福禄克强调高置信度，大方向是对的。自然受用户欢迎。信誉高，产品自然卖得快。而代价有多大呢？由于测量仪器以系统误差为主，见上表，取3σ，仪器误差范围的扩大系数却并不大。费劲小而收益大，好聪明的福禄克！
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