夸张分辨力-评UA评定（11)...

                          夸张分辨力-评UA评定（11)

                                                                              史锦顺

-

不确定度评定中有一项，就是关于分辨力的评定。几乎每个评定都有此项。对分辨力的计算，GUM错算（《测量不确定度》p80），他人便跟着抄，于是千篇一律，全都错了，把分辨能力夸大到2倍，即把分辨力的数值错误地除以2。

-

（一）分辨力的意义

分辨力是测量仪器的性能要素之一。现有的测量学理论，对分辨力关注甚少，以致在应用中常被误解。值得引起重视。

分辨力是测量能力的阈值。阈值就是门限、门槛，是测量仪器几项性能的限度。

1 量程最小值的限度。

2 分散性的最小限度。随机误差、复现性的最小限度。

3 不准确性的最小限度。误差元与误差范围的最小限度。

-

（二）误差理论对分辨力的处理

误差理论讲到分辨力时，通常认为：若分辨力是D, 则分辨力产生的误差元的绝对值的最大值是D，也可表示为误差区间为[-D,+D]。也就是说是误差区间的半宽是D。

计数式频率计，分辨力为尾数的一个字，引进误差为加减一个字，并且有专有名称，叫“正负1误差”。例如0.1秒采样（闸门时间0.1秒），计数器尾数一个字代表10赫，因而分辨力引入的测量误差范围是±10赫。

以上误差理论对分辨力的认识，载于各种书籍，特别是载于各种计数式频率计的说明书。

-

（三）不确定度论对分辨力的处理

不确定度论对分辨力处理的规范作法是：设分辨力是D，其半宽为D/2，均匀分布，除以根号3，得标准不确定度为0.29D。反过来，计算扩展不确定度，乘以2得0.58D，以此为包含区间半宽。这种计算的结果，比本来值小42%.

不确定度论的这个对分辨力认识，载于GUM等众多文献，是错误的。

-

（四）分辨力计算详解

设分辨力是D，误差论认为此项误差区间是[-D,D] ，误差区间的宽度是2D，半宽度是D。

不确定度论认为：分辨力是D，不确定度区间半宽度是D/2

两种理论对分辨力的处理，差别甚大，是两倍关系。

本文论证：误差论对分辨力的认识是正确的；不确定度论对分辨力的认识是错误的。

-

（接下页）

接 3# 史锦顺 文

例2   计数式频率计的分辨力

取一台数字式频率计。其原理是在标准的闸门时间内数被测频率的脉冲数。

被测频率1.1赫，即周期0.9秒，在1秒的闸门时间中，可能出现两个脉冲，测得值2赫，误差为0.9赫。若被测频率是0.9赫，即周期为1.1秒，一个采样时段中，可能一个脉冲都不出现，测得值0赫，误差为负0.9赫。

若被测频率是1.01赫，测得值可能为2赫，误差最大可能是0.99赫；被测频率是0.99赫，测得值可能为0赫，误差的极端值是负0.99赫。因而，当采样时间为1秒时，计数器一个字的分辨力的区间是[-1Hz；+1Hz],区间的半宽是1赫。

样板评定实例（《测量不确定度评定与表示指南》P92）：频率计 0.1秒采样。即闸门时间为0.1秒。计数器每记得一个数，代表10赫。由此，区间半宽是10 赫。样板评定以10赫除以2，得5赫做为区间半宽，这是不对的。

-

结论     测量仪器的分辨力是D，误差区间是[-D,+D]，包含区间的宽度2D，区间半宽度是D。数字式仪表的分辨力D是最低位的一个字，误差区间是[-1,+1]，区间的半宽是一个字所代表的量。

对分辨力的认识，误差理论是正确的；不确定度论是错误的。

-

回复 1# 史锦顺

例1 电子案秤的分辨力

实验  取一台电子案秤。最低位为1克，即分辨力是1克。

我们来做分辨力实验。 用案秤测量一个10克的砝码，显示为10克。加标称值为100毫克的小砝码（以下加减小砝码，都指100毫克砝码），加一个到3个小砝码，显示都是10克；加4个小砝码，显示为11克，加5个到13个小砝码显示都是11克；加14个小砝码时显示为12克，加15个到23个小砝码，显示都是为13克。可见电子案秤的分辨力是10个100毫克的小砝码，即1克。

我们看，在10克砝码的基础上加4个小砝码（物重10.4克）时，显示为11克。再加9个砝码，显示仍为11克，就是说，在测量10.4克时，加9个小砝码，仍分辨不出。

我们从另一个观察起点看，在10克砝码的基础上加13个小砝码时（物重11.3克）时，显示为11克，减去9个砝码，显示仍为11克，减去9个小砝码仍分辨不出。

分辨不出的情况，小砝码增减的最大可能是加减9个小砝码，因此其范围是加减0.9克。下表单位是1克。

        重物          显示           重物可能值            砝码重量变化范围(偏差可能范围)

                10.4            11             10.4——11.3                   0——0.9

                10.5            11             10.4——11.3               -0.1——0.8

                10.6            11             10.4——11.3               -0.2——0.7

                10.7            11             10.4——11.3               -0.3——0.6

                10.8            11             10.4——11.3               -0.4——0.5

                10.9            11             10.4——11.3               -0.5——0.4

                11.0            11             10.4——11.3               -0.6——0.3

                11.1            11             10.4——11.3               -0.7——0.2

                11.2            11             10.4——11.3               -0.8——0.1

                11.3            11             10.4——11.3               -0.9——0

               

就十进制而言，以3位数显为例，
“数字测量设备”，如果显示驱动是模拟量放大方式的，那么数值3.9999999和3.9901234567，送显示都是显示3.99
“数字测量设备”，如果是智能系统，如果不做特别要求，那么电子工程师，是不会对计算的测值做四舍五入等等处理的

为什么微系统编程的常规作法是不做四舍五入呢？
因为，就“数字测量”而言，一是显示屏仅是输出接口之一，还有通讯输出方式，还有数模转换等等方式 。。。

接 11# 史锦顺  文
-

综上所述，通用数字式频率计的分辨力是一个脉冲所代表的频率值。闸门时间记为τ，分辨力记为D。有τ=10s，D=0.1Hz；τ=1s，D=1Hz；τ=0.1s，D=10Hz；τ=10ms，D=0.1 kHz；τ=1ms，D=1kHz

设标准的频率是fo（相对真值），则频率计的测量结果为

              Fm = fo±D

用频率计测量被测频率f，则测得值表征的量值群为：

              f = fm±D

请注意，不论从误差范围的角度，还是从量值范围的角度，都要取D，而不是D/2。

-

分辨力是误差理论分析的一件小事，却是一件基本功。讨论清楚是必要的。

-

不确定度论弄错许多事，分辨力也是一条。请网友细想一想，到底怎样处理正确。这也是对思想方法、研究方法的一次考验与锻炼。经过认真思考的学问才是真学问，人云亦云，就得不到锻炼。在科学理论上识错、纠错是大学问，很难。事情总得有人去做，我很希望我国的年轻一代，能在世界科技界争得话语权。误差理论与不确定度论的大论战，就是一个广阔的天地。

-

我越来越觉得，所谓的“区间半宽”的提法，是不可取的。过些日子写成文章再和大家交流。我这里先点出问题，请网友独立地想一想，看看我们能不能得出同样的结论。不同意也好，辩论才有意思，才能提高。

-

回复 7# 规矩湾锦苑

   

                                                                   关于分辨力的答辩

                                                                                                                                史锦顺

-

【规矩湾锦苑质疑】

数字式测量设备的分辨力（设为D）会产生测量设备的误差。产生误差的大小是±(D/2)，而不是±D。分辨力是1克的电子秤，分辨范围并不是±1g，而是±0.5g。当被测量的变化值＜0.5g时，电子秤不会有反映，当被测量的变化值达到或超过0.5g时，电子秤就会变化一个字（变化量≤-0.5g时减一个字，变化量≥+0.5g时加一个字）。

-

由以上所述，我们可以看出对于数字式测量设备而言，分辨力带来的测量误差只能是±(D/2)而不是±D，分辨力给测量结果引入的标准不确定度分量只能用D/2作为半宽来除以包含因子k 获得。如果按均匀分布处理，k＝√3，那么D/(2√3)＝0.29D。这就是JJF1059所说的“对于数字显示式测量仪器，如其分辨力为δx，则由此带来的标准不确定度为u (x)=0.298δx。”的理论依据。

-

【史锦顺答辩】

分辨力是一克的电子秤，现在用得很多，卖肉、零售菜、零售米的电子案秤，大都是尾数为1克的电子秤。在重物一点点缓慢增加时（如攥一把米，一粒一粒往秤盘上撒），便会看到电子秤的示值1克1克地向上跳变，这就叫分辨力是1克。

先生所说的情况，是类比于人计数时，进行四舍五入后的情况。要求客观的数与人的计数值，有完全等同的起步点和严格相等的步长。但是任何测量仪器，由于误差的存在，步长不能完全相等，特别是经过不断的积累，于是数字变化的起点，示值与输入值便不能保持一致。显示数跳步一个字，即示值变化1克，标志被测量变了1克，但从多少起，却不同，即起点不同。于是产生的示值误差，极端可能值是+1g与-1g，于是分辨力引入的误差，就整个量程来说，就是±1g，而不是±0.5g.

-

例1 “取整”误差（舍位误差）

一个数据，小数点以前是整数位，小数点以后是零数位。数据处理的一种办法是舍弃零数位，而只保留整数位。计算机语言，专有“取整”程序。取整产生的误差为：最小值：0；极限值：―1。

要注意，[―1,0]是个区间，但不是对称区间。如果有人认为区间半宽是0.5，0.5是最大误差，这是错误的表达。应知，最基本的定义是误差元与误差范围。在误差元的各种可能值中，标志量是误差的绝对值的最大可能值，不能解错。

误差元是测得值减真值。对现在的情况应理解为：新值减原值。如123.8取整是123，误差元为123―123.8 =―0.8。

    (接下页)

接 8# 史锦顺 文
-

误差范围是误差元绝对值的最大值，显然，此值为1。这是一项误差因素，在进行误差合成时，只能以“1”来对待，而绝不能当做0.5。有人认为“取整”的误差是0.5，那就错了。对不同数据点，误差的绝对值的大值，可能是0.5、0.6、0.7、0.8、0.9，0.99，而对整个数据的各个数据点来说，误差绝对值的最大可能值是1。明明是1，却偏说是0.5，那当然是错的。

-

例2  四舍五入的误差

在编计算机程序时，先令加0.5，再令取整，就对数据进行了四舍五入的处理。这时容易看出，新数据（整数）与原数据的差是―0.5到+0.5，误差区间是[-0.5,+0.5]，误差元的绝对值的最大值是0.5。此时用不确定度论的语言，表达为区间半宽，是可以的。但要注意，已进行四舍五入的数据同原来数据，有严格的关联关系：步长相同，零点及各个整数点的数值完全相同。整数加1的起跳点，是一样的；而任何测量仪器，由于系统误差、随机误差的存在，步长、起跳点，在量程内的各点不可能完全相同，而是有数倍于分辨力的变化。于是各数据点的误差区间绝大多数是非对称区间。而取区间半宽的作法，只有对对称区间才是对的。四舍五入的误差区间是对称区间，可以取区间半宽；但这仅仅是数据处理引入的误差，与分辨力引入的误差无关。

-

例3 分辨力为1克的电子秤的分辨力误差范围是1克

我的文章中有两个表，出现的误差区间的大多数都是非对称区间。这些区间的可能值为：

          [0,0.9]、[-0.1,0.8]、[-0.2,0.7]、[ -0.3,0.6]、[ -0.4,0.5]、[ -0.5,0.4]、[-0.6,0.3]、[-0.7,0.2]、 [-0.8,0.1]、[-0.9,0].

在各个区间中，误差元的绝对值的最大值为0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

实验的分度再细一位，最大值为：0.99、0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

实验的分度细到极限，最大值为：1.0、0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

而就整个量程来说，误差元的绝对值的最大可能值为1克，即分辨力为1克时，误差范围为1克（或称极限误差是1克、最大允许误差是1克）。

结论：分辨力是D，则引入测量误差范围是D；说是D/2，是错误的。

-

如果反对例3 的分析，应该拿出一个不可能出现的实例来；如果拿不出反例，就该承认这个分析是正确的。要具体地算实例，不能凭想象。

-

  （接下页）


   

回复 2# 史锦顺


以前看过前辈写的关于分辨力的帖子，这个帖子的例子好像是在那个帖子里粘贴过来的。看完以后还是不太理解，分辨力为D，误差范围是[-D，D]，我怎么感觉还是不对呢。前辈举的用砝码测电子天平的例子，10.4g显示是11g，11.3g显示也是11g。对10.4g而言，误差范围是0.9g，对11.3g而言，误差范围是-0.9g，但这是对两个点而言，因此认为误差范围是[-0.9g,0.9g]，我认为是不妥的。我认为分辨力的误差范围应该是对于被测仪器某一个显示值而言的。例如对于电子天平显示的11g来说，其被测物实际质量在（10.3g，11.3g）之间，小于10.3g显示10g，大于11.3g显示12g。误差范围应该是1g，即1个分辨力，半宽为分辨力的一半。

接 2# 史锦顺 文

此实验可以更细，增减的砝码小到10毫克或1毫克，于是相应的范围成为加减0.99克或加减0.999克。

因此，变化范围应为[-1克,+1克]。

由上，分辨力是1克的电子秤，分辨范围是加减1克。

结论：分辨力是1，则按范围写出是正负1。因此除以2是不对的。

-

我们再从示值误差的角度来讨论。

示值是以克为单位的整数。而被测物的重量是有各种可能的数。整数的转换点不同，则示值误差不同。

-

          转换点内区间        被测物重          示值        示值最大误差元

          10.01     10.99             10.01               11                   0.99

          10.1       11.0               10.1                 11                   0.9

          10.2       11.1               10.2                 11                   0.8

          10.3       11.2               10.3                 11                   0.7

          10.4       11.3               10.4                 11                   0.6

          10.5       11.4               10.5                 11                   0.5

          10.6       11.5               11.5                 11                    -0.5

          10.7       11.6               11.6                 11                    -0.6

          10.8       11.7               11.7                 11                    -0.7

          10.9       11.8               11.8                 11                    -0.8

          10.91     11.9               11.9                 11                    -0.9

          10.99     11.98             11.98               11                    -0.98

         10.999    11.998           11.998             11                    -0.998

-

    由上，知电子案秤的分辨力形成误差区间是[-1g,+1g]，即±1g，区间半宽是1克。

-

（接下页）

回复 6# 长度室

　　你说得对，我认为主要是术语含义还有点问题，需要搞清楚，呵呵。测量设备经常使用“分辨力”和“分度值”这两个术语，这是两个完全不同的术语。对测量设备的显示装置而言JJF1001-2011给它们的定义分别是：
　　分度值：对应两相邻标尺标记的两个值之差。
　　分辨力：引起相应示值不可检测到变化的被测量的最大变化。
　　第一，显然分度值是针对模拟式测量设备而定义的，数字式测量设备没有“标尺”，因此也就没有分度值。例如卡尺分度值0.02mm，千分尺分度值0.01mm，而数显千分尺和数显卡尺则没有分度值，只有分辨力。分辨力可以应用于模拟式测量设备和数字式测量设备，应用于所有的测量设备。
　　第二，分度值与测量设备的误差的确存在着一定的关系，若分度值是D，史老师说的分辨力（其实是分度值）产生的误差区间可以表示为[-D,+D]，也就是说是误差区间的半宽可能是D。但，这也不是绝对的。例如分度值为0.02mm的小规格卡尺产生的误差最大是±0.02mm，等于分度值。但分度值0.01mm的小规格千分尺产生的误差最大缺并不是±0.01mm，而是±0.004mm，小于分度值的大小。而分度值0.001mm的0～1mm的千分表产生的误差最大也不是0.001mm，而是0.005mm，大于分度值的大小。
　　第三，数字式测量设备的分辨力（也设为D）也会产生测量设备的误差。产生误差的大小是±(D/2)，而不是±D。分辨力是1克的电子秤，分辨范围并不是±1g，而是±0.5g。当被测量的变化值＜0.5g时，电子秤不会有反映，当被测量的变化值达到或超过0.5g时，电子秤就会变化一个字（变化量＜-0.5g时减一个字，变化量≥+0.5g时加一个字）。
　　第四，模拟式测量设备的分辨力与其放大和读数原理有关，且与测量者的视力和经验有关。分度值0.01mm的千分尺，不同的测量者分辨力不同，最优秀的测量者的分辨力也只能达到D/10，即0.001mm。而分度值0.02mm的游标卡尺，无论测量者如何优秀也不可能分辨出分度值0.02mm的1/10（即分辨力0.002mm），甚至连1/3也做不到。
　　由以上所述，我们可以看出对于数字式测量设备而言，分辨力带来的测量误差只能是±(D/2)而不是±D。分辨力给测量结果引入的标准不确定度分量只能用D/2作为半宽除以包含因子k 获得。若按均匀分布处理，k＝√3，则D/(2√3)＝0.29D。这就是JJF1059所说“对于数字显示式测量仪器，如其分辨力为δx，则由此带来的标准不确定度为u (x)=0.298δx。”的理论依据。分度值（D）带来的测量误差与测量仪器的读数放大原理和测量人员眼力及经验的不同有关，可能会等于D，也可能会大于D，或者小于D。