测量误差及数据处理的基础知识??
本篇介绍测量误差估计、实验数据处理和实验结果的表示等问题。所介绍的都是初步知识，这些知识不仅在每一个物理实验中都要用到，而且是今后从事科学实验必须了解和掌握的。
一、测量及测量误差?
测量是一种“比较”的过程，就是把待测量和体现计量单位的标准量作比较。物理实验是以测量为基础的。研究物理现象、了解物质特性、验证物理原理都要进行测量。测量分直接测量和间接测量两类。用量具或仪表直接读出测量值的，称为直接测量，相应的物理量称为直接测得量。例如用米尺测物体的长度，用天平和砝码测物体的质量，用电流计测线路中的电流，都是直接测量。间接测量指利用直接测量的量与被测的量之间的已知函数关系，从而得到 该被测量值的测量。例如测物体密度时，先测出该物体的体积和质量，再利用公式算出物体的密度。?
实践证明，测量结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量的过程中。因为任何测量仪器、测量方法、测量环境、测量者的观察力等等都不能做到绝对严密，这些就使测量不可避免地伴随有误差产生。因此分析测量中可能产生的各种误差，尽可能消除其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，就是物理实验和许多科学实验中必不可少的工作。测量误差就是测量结果与待测量的客观真值之差，我们称之为绝对误差。评价一个测量结果的准确程度不仅看误差的绝对大小，还要看被测量本身的大小。于是可定义出相对误差的概念，即相对误差E=绝对误差/待测量的客观真值(用百分数表示)。?
二、有效数字及其表示?
在实验中我们所测的被测量都是含有误差的数值，对这些数值不能任意取舍，应反映出测量值的准确度。所以在记录数据、计算以及书写测量结果时，究竟应写出几位数字，有严格的要求，要根据测量误差或实验结果的不确定度来定。例如用300mm长的毫米分度钢尺(实验中给出仪器误差0.3mm)测量某物体的长度，正确的读法是除了确切地读出钢尺上有刻线的位数之外，还应估计一位，即读到 mm。比如，测出某物的长度是15.2mm，这表明15是确切数字，而最后的2是估计数字。值得注意的是在读取整刻度值时往往只读出了整数值，而忘记读估计的那位“0”。比如，用钢尺测得的物体长度正好是15mm整，应该记录15.0mm，不应写成15mm。又如根据长度和直径的测量值用计算器算出圆柱体体积为V=6158.3201mm3，Δv=±4mm3。由不确定度为4mm3可以看出，第四位数字8已经是不精确的，它后面的四位数字3201没有意义。因而圆柱体体积的间接测量值应写作V=6158±4mm3。6158这四位数字前面的三位是准确数字，后面一位是存疑数字。准确数字和存疑数字的全体称为有效数字。上例中15.2mm为三位有效数字，6158mm3为四位有效数字。?
有效数字位数的多少，直接反映实验测量的准确度。有效数字位数越多，测量的准确度就越高。例如，用不同精度的量具测量同一物体的厚d时，用钢尺测量d=6.2mm，仪器误差0.3mm， ?
用50分度游标卡尺测量d=6.36mm， 仪器误差0.02mm，
用螺旋测微计测量d=6.347mm，仪器误差0.004mm， ?
由此可见，有效数字多一位，相对误差E差不多要小一个数量级。因此取几位有效数字是件严肃的事，不能任意取舍。?
写有效数字时应注意的要点：?
1.有效数字的位数与小数点位置无关，单位的SI词头改变时，有效数字的位数不应发生变化。例如，重力加速度980cm/s2，以“m/s2”表示时记为9.80m/s2，与记为9.8m/s2是不同的。前者有三位有效数字，而后者只有两位。若写为0.00980km/s2，则数值前面小数点定位所用的“0”不是有效数字，应从非“0”的第一个数起，仍为三位有效数字。?
2.为表示方便，特别是对较大或较小的数值，常用×10±n的形式(n为一正整数)书写，这样可避免有效数字写错，也便于识别和记忆，这种表示方法叫科学记数法。用这种方法记数值时，通常在小数点前只写一位数字，例如地球的平均半径6371km可写作6.371×106m，表明有四位有效数字。?
3.表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数一般要取齐。普通物理实验中不确定度一般取一位至两位就可以了。当不确定度的第一位数比较小时经常取两位。相对误差一般取两位数。在计算过程中，对中间运算结果适当多保留几位，以免因过多截取带来附加误差。对π， 等值应直接按计算器上的按键取用。?
4.如果在实验中没有进行不确定度的估算，最后结果的有效数字位数的取法如下：一般来说，在连乘除的情况中它跟参与运算的各量中有效数字位数最少的大致相同；在代数和的情况中，则按参与加减的各量的末位数中数量级最大的那一位为结果的末位。?
三、用作图法处理实验数据?
某些实验的观测对象是互相关联的两个(或两个以上)物理量之间的变化关系，实验的任务就是寻求这些物理量互相依存的变化规律。例如，研究单摆周期和摆长的关系，研究金属电阻随温度变化的关系，研究气体压强随温度变化的关系等等。这一类实验中的观测方法是控制某一个量(例如温度)使之依次取不同的值，从而观测另一个量所取的对应值，得出一列x1， x2， …xn和另一列对应的y1，y2，…，yn值。如果将这两组数据记录在合适的表格内，便一目了然，这叫列表法。更形象地处理这类实验数据常用作图法，它能直观地揭示出物理量之间的规律，粗略显示对应的函数关系。?
为了使图线能清楚地、定量地反映出物理形象的变化规律，并能准确地从图线上确定物理量值或求出有关常数，在作图时必须注意准确度要求，因此必须用坐标纸作图。?
作图规则：?
1.选择合适的坐标分度值。坐标分度值的选取应符合测量值的准确度，即应能反映测量值的有效数字位数。一般以1或2毫米对应于测量仪表的最小分度值或对应于测量值的次末位数，即倒数第二位数。对应比例的选择应便于读数，不宜选成1∶1.5或1∶3，坐标范围应恰好包括全部测量值，并略有富裕。最小坐标值不必都从零开始，以便作出的图线大体上能充满全图，布局美观、合理。?
2.标明坐标轴。以自变量(即实验中可以准确控制的量，如温度、时间)为横坐标，以因变量为纵坐标。用粗实线在坐标纸上描出坐标轴，在轴上注明物理量名称、符号、单位(要加括号)，并按顺序标出标尺整分格上的量值。?
3.标实验点。实验点可用“+”、“○、? ”等符号标出。?
4.连成图线。因为每一个实验点的误差情况不一定相同，因此不应强求曲线通过每一个实验点而连成折线(仪表的校正曲线不在此例)。应该按实验点的总趋势连成光滑的曲线，要做到图线两侧的实验点与图线的距离最为接近且分布大体均匀。曲线正穿过实验点时，可以在点处断开。?
5.写明图线特征。利用图上的空白位置注明实验条件和从图线上得出的某些参数，如截距、斜率、极大极小值、拐点和渐近线等。有时需通过计算求某一特征量，图上还须标出被选计算点的坐标及计算结果。?
6.写图名。在图纸下方或空白位置标出图线的名称以及某些必要的说明，要使图线尽可能全面反映实验的情况。最后写上实验者姓名、实验日期，将图纸与实验报告订在一起。?
四、实验数据的直线拟合?
作图法虽然在数据处理中是一个很便利的方法，但在图线的绘制上往往会引入附加误差，尤其在根据图线确定常数时，这种误差有时很明显。为了克服这一缺点，在数理统计中研究了直线拟合问题(或称一元线性回归问题)，常用一种以最小二乘法为基础的实验数据处理方法。由于某些曲线的函数可以通过数学变换改写为直线，例如对函数 取对数得 ， 与 的函数关系就变成直线型了。因此这一方法也适用于某些曲线型的规律。? |
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