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交叉项中系统误差强相关
—— 关于相关性的讨论（2）
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史锦顺
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（一）处理误差合成的两种思路
函数的变化量，等于函数对各个自变量偏微分的和。数学上是泰勒展开的一级近似。
f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo) （1）
f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy
Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy （2）
公式（2）是变量关系的普遍形式。对所研究的特定函数来说，?f/?x、?f/?y是常数。
变量关系用于测量计量领域，x是测得值，xo是真值, Δx是测得值x的误差元；y是测得值，yo是真值，Δy是测得值y的误差元；f(x,y)是求得的函数值， f(xo,yo) 是函数的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是求得的函数值的误差元。
误差元定义为测得值减真值，可正可负；当有随机误差存在时，误差元可大可小。
误差量的特点是绝对性与上限性。第一，误差量按绝对值论大小；第二取误差绝对值的最大值为误差的表征量。这个表征量就是误差范围（又称极限误差、最大允许误差、准确度、准确度等级）。误差范围定义为误差元的绝对值的一定概率（99%以上）意义上的最大可能值。误差范围是测量计量水平以及仪器性能水平的表征。
如是，对误差元要进行两步操作。第一步取绝对值；第二步取绝对值的最大值。经典误差理论，例如1964年出版的《误差理论与实验数据处理》（冯师颜）与1980年出版的《数学手册》，处理方法就是取绝对值的最大值。这体现了误差量的两个特点。这是“绝对和法”，就是取绝对值之和。
用“绝对和法”转化（2）式的误差元为误差范围R，有：
|Δf |max= |(?f/?x) Δx + (?f/?y)Δy|max
=|?f/?x||Δx|max +|?f/?y||Δy|max
R(f) = |?f/?x|R(x) +|?f/?y|R(y) （3）
公式（3）用于和、差、积、商、乘方、开方六大基本函数关系，就有极为简明的六个定理（参见《史氏测量计量学说》第4章）：
定理一：二量和的误差范围，等于二量的误差范围之和。
定理二：二量差的误差范围，等于二量的误差范围之和（不是差）。
定理三：二量之积的相对误差范围，等于二量的相对误差范围之和。
定理四：二量相除，商的相对误差范围，等于二量的相对误差范围之和（不是差）。
定理五：Y等于A的n次方，则Y的误差范围等于A的误差范围的n倍。
定理六：Y等于B的n次方根，则Y的误差范围等于B的误差范围的1/n倍。
以上六个定理，即常用的“绝对和法”误差合成公式，对测量计量工作者是十分重要的，也极其简明，好记、好用、保险。
“绝对和法”着眼于误差的上限性，不存在不确定度论的各项难关：1 不考虑分布规律；2 不计较相关性；3 正视系统误差的客观存在，没必要把系统误差随机化；4 直接用分项误差范围计算，没必要进行范围与方差间的折腾；5 没有自由度一说。
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误差处理的特例，是对随机误差的处理。多次重复测量，单项随机误差内部取“均方根”。贝塞尔公式是典型代表。
各项随机误差之间合成，用“方和根法”。方和根法的基本依据是各量之和的平方，等于各量之平方的和，就是多项式平方的展开式的交叉项的和为零（或可以忽略）。
用贝塞尔公式处理测量系列，得到σ，这相当于前述第一项操作：取绝对值；第二项操作是乘3得随机误差范围，这就体现了“上限性”（概率大于99%）的特点。
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1980年启动而于1993年正式推行的不确定度理论（包括1980年后的一些误差理论书籍），合成方法主张用“方和根法”。此法否定了误差量取最大值的操作；但对取绝对值，还是依旧的。对随机误差，处理方法也依旧。
新的作法是把对随机误差的处理方法，推广到一般情况。就是不分误差是随机的还是系统的，一律取“方和根”。GUM为此而淡化系统误差与随机误差的分类与划分。但是，无视客观规律是要受到惩罚的，本文所论的合成中的相关系数的是非，就来源于对误差性质的混淆。
同经典误差理论不同，不确定度论不是直接取误差元的绝对值，而是平方再开方。初等数学规定，平方根取绝对值。这样做，第一达到取绝对值的目的；第二，对随机变量，有“二量和的平方等于二量平方的和”这个特性，因而对处理随机变量的统计问题，这是十分方便的，也是必要的。这样做是正确的（经典误差理论对随机误差本来就这样做）。
对于系统误差，二量之和的平方，等于每个量之平方的和加上交叉项之和。测量仪器通常是以系统误差为主的；有系统误差的情况下，交叉项等于什么，是否为零或能否忽略，这是“方和根法”成立与否的关键。
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（二）“方和根法”误差合成中，系统误差的相关系数绝对值是1
系统误差合成的交叉项（以下简称交叉项）是常量，不存在抵消作用，是不能忽略的。系统误差在交叉项中的“相关系数”，是+1或者是-1。就是说，参加合成的分项的系统误差，不管来源如何，只要是常量（系统误差就是“误差值为常量”的误差），在交叉项中，其相关系数的绝对值是1，因而交叉项不能为零，也不能忽略。正常的作法是把合成公式转换为二量的绝对值之和（相关系数是+1时），或绝对值之差（相关系数是-1时）。鉴于通常对系统误差的了解是只知其范围，又鉴于合成后误差的上限性，要回避取差，该取绝对值之和。这就回到了经典误差理论的“绝对和”法。
本栏目的帖子中已有崔伟群先生（中国计量科学研究院,一研究中心主任，2011 http://www.weblims.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=182209&extra=page%3D1 2#帖）、njlyx先生(李永新博士，南京理工大学教授，博士生导师。史注：引自《南京理工大学研究生导师表》，兵工学会专业委员 http://www.weblims.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=181917&extra=page%3D1&page=5，107#帖)，二位学者都已严格证明，“方和根法”误差合成中，交叉项中的系统误差的相关系数是+1或-1，我的学术探讨仅仅是证明二位学者给出的结果是正确的。鉴于崔主任的推导数学形式较复杂，而李博士的证明又过于简约，我再用我的方式科普如下。
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（三）方和根法合成中，系统误差相关系数公式的推导
设函数的误差由两项误差Δx、Δy引起。由此，函数的两项误差元为：
Δf(x) = (?f/?x) Δx
Δf(y) = (?f/?y) Δy
把分项误差作用的灵敏度系数与该项误差归并，记为（注意大小写）：
Δf(X) = ΔX
Δf(Y) = ΔY
函数的误差元式（2）变为：
Δf=ΔX +ΔY （4）
对（4）式两边平方并求和、平均：
(1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔX +ΔY)^2
=(1/N)∑ΔX^2 + 2(1/N)∑ΔXΔY+(1/N)∑ΔY^2 （5）
（5）式右边的第一项为σ(X)^2，第三项为σ(Y)^2; （5）式的第二项是交叉项，是我们研究的重点对象。记交叉项为2J。有
σ(f)^2 = σ(X)^2+2J+σ(Y)^2 （6）
变换交叉项之J
J = (1/N)∑ΔXΔY
={(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)]} [σ(X) σ(Y)]
= Rc [σ(X) σ(Y)]
（6）成为
σ(f)^2 = σ(X)^2+2 Rc [σ(X) σ(Y)] + σ(Y)^2 （7）
（7）中的Rc为：
Rc=(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)] （8）
按已有的惯例，特别是参照随机误差情况下的称谓，称Rc为相关系数。
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（1）设ΔX、ΔY是残差，ΔX=X-X(平)，ΔY=Y-Y(平)， 公式（8）就成为基于残差的相关系数公式
Rb=(1/N)∑[X-X(平)][(Y-Y(平)) / {σ[X- X(平)]σ[Y- Y(平)]} （9）
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（2）设ΔX、ΔY为系统误差。系统误差在系列测量时不变，是个常数。有
ΔX=Kx （10）
ΔY=Ky （11）
且有
σ(X)= |Kx| （12）
σ(Y)= |Ky| （13）
将（10）到（13）代入（8），则得系统误差的相关系数为：
Rc=(1/N)(∑ΔXΔY) / [σ(X) σ(Y)]
=(1/N)NKxKy / [|Kx| |Ky|]
=±1
即有
|Rc|=1 （14）
当Kx、Ky同号时，系统误差的相关系数为+1；当Kx、Ky异号时，系统误差的相关系数为-1.
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当系统误差的相关系数为+1时，（7）式为：
σ(f)^2 = σ(X)^2+2 σ(X) σ(Y) + σ(Y)^2 （15）
= [σ(X) + σ(Y)]^2
既有：
σ(f) = σ(X) + σ(Y) （16）
也就是
| Δf | =|ΔX|+|ΔY| （17）
（17）式就是绝对值合成公式。
当系统误差的相关系数为-1时，（7）式变为二量差的公式。因为通常只是知道系统误差之误差范围，又鉴于误差量“上限性”的特点，此解不能用。反正它在（17）的区间中，即“绝对和法”包容它，不必另设炉灶。
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综上所述，系统误差在“方和根法”合成时，交叉项中的相关系数是+1（相关系数为-1的解不能用）；这样，“方和根法”，就回归为“绝对和法”。
测量仪器的误差，通常以系统误差为主。在有系统误差存在，特别是以系统误差为主的通常情况下，交叉项中的误差项，不是弱相关而是强相关。这样，不确定度评定的通常的假设条件“不相关”，通常是不成立的。就是说，不确定度评定的“方和根法”是没道理的。不确定度理论为推行“方和根法”，导致产生五大难关：分布规律、不相关假设、变系统为随机、范围到方差的往返折腾、求自由度。这些，都是自找麻烦，并无必要；不仅不必要，由于忽略交叉项，不合理地缩小误差范围，违背误差量的上限性特点，成为工程的隐患。
“系统误差强相关”，一条曝光，就使五大难关灰飞烟灭（没必要费那个劲儿）。此乃计量人的幸事，省却那么多麻烦，好！清除重大工程的隐患，应该！必须的！
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致谢
njlys（李永新博士）与崔伟群主任（按我知道的时间顺序），指出并证明在“方和根法”合成中，交叉项中的系统误差的相关系数的绝对值为1，这对本人的学术探讨，十分给力。本人深受启发，特致谢意。
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