误差范围计算的简单又可靠的方法——《费书》商榷(2...

           误差范围计算的简单又可靠的方法

                                            ——《误差理论与数据处理》商榷(2)

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《误差理论与数据处理》（2010第6版费业泰主编）是我国高校重点教材。被多所高校采用。影响甚广。本文就误差范围计算的方法提出商榷。

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（一）两条路线

误差分析与误差合成的数学基础是微分，是泰勒展开。

测量仪器研制场合，必须找到合适的物理机制。列出物理公式。经典的误差分析，直接对物理公式进行微分；一般来说是可以的，但有时常量变量不清楚，可能出现符号错误。史锦顺的《新概念测量计量学》给出建立测量方程的方法，并由此得出测得值函数。在对测得值函数的常量、变量分辨清楚之后，对变量进行微分，这样就使误差分析有了严格的数理逻辑。

误差量有数值又有单位，被认为是量值。这个“误差量是量值”的认识，导致一些人们像追求量值准确度那样去追求误差量的准确性。这是不妥当的。其实，误差量与一般量有本质区别。这一区别，导致误差量求法的特殊性与简单性。

一般量值要求准确，既不能大也不能小，必须控制在误差范围内。这是量值的准确性要求，是“双限性”要求。误差量的特点是它的上限性，着眼点是误差元的绝对值的上限，即误差范围。

根据误差量的上限性的特点，史锦顺提出一种复古主义的主张，就是用数学手册所载的经典方法，进行误差合成。经典的误差合成方法就是除多次测量的随机误差外都绝对值相加。

在基础测量（常量测量）中，被测量是常量，讨论的是测量手段的问题，就是测量的误差问题。误差分系统误差与随机误差。随机误差自身，用均方根，不同随机误差间合成用方和根。各种随机误差构成随机误差范围。

如果已知系统误差的量值与符号，可在示值给出前通过操作的方式或计算的方式进行修正。抵消或修正了的误差因素，不构成示值误差。

未修正的误差、各种未定系统误差，取绝对值相加，构成系统误差范围。系统误差范围与随机误差范围，按方和根合成为总误差范围，简称为误差范围。

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鉴于现代大量变量测量的存在，史锦顺提出“统计测量”的新概念。统计测量的对象是快变量（在一回测量的N次测量中，量值在显著变化）。为正确表征量值的变化特性，典型的统计测量要求测量仪器的误差远小于被测量的变化。统计测量的分散性用单值的西格玛表征，测量N次，即使以平均值当表征量，也不准除以根号N。还不准剔除异常数据。这两点是统计测量的特有规则，不同于以常量测量为对象的经典测量理论。

某些测量既有被测量的变化，也有测量误差。那就要兼顾两类测量的特点。本文未涉及此类问题。

还有一个重要判别，计量是统计测量。因此在计量中不能进行除以根号N和剔除异常数据这两项操作。

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对测得值函数作泰勒展开得到的误差元，有正有负，误差分析计算是求误差元绝对值的最大值，因此，误差分析的第一项操作是泰勒展开，第二项操作就是去掉误差元的符号。

去掉正负符号，有两条路线。

第一条路线取绝对值。由此而形成误差合成的第一种办法：绝对值合成。绝对值合成的特点是计算方便，不附加任何条件，不论相关不相关，省略计算相关系数的麻烦。不分误差是纯系统性的，还是带有随机性的。不论各项间是否独立。不计测量次数多寡。不理会分布规律，也就是对任何分布规律都成立。不存在自由度一说。对多次测量的随机误差用贝塞尔公式计算，取3西格玛（包含概率99.73%）。绝对值合成算得的误差范围比其他算法的结果大。最保险。受仪器设计人员欢迎。鉴定会易于通过。指标余地大，用户欢迎。减少“计量不合格”“验收通不过”的麻烦。算法简单易学。老史一贯按这种方法处理问题，自己方便，用户满意，领导表扬，促进了自己研制的几项标准与测量仪器及所负责检测的宇航测量设备质量的提高，少为难而又易有成就。现在极力宣传推广这种方法。

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第二条路线取方和根。初等数学规定，平方根取正值，因此，平方再开方，也可达到消去误差元符号的作用。单项平方再开方，数值还原而符号消失，这没问题。但多项式的平方再开方，就大有讲究，竟引出许多话题来，构成多种重大方法。有些成功，有些则有异议，甚至埋下祸端。

A 测量次数很大时的随机误差，处理最成功。著名的贝塞尔公式，19世纪初提出。不仅是随机误差的理论基础，也是随后兴起的数理统计的基础。取方差的动机就是消掉正负号。随机、大量、不相关，导致“诸项代数和的平方等于各项平方的算数和”，多项式取平方时，交叉项全消掉，取“均方根”，合理；而3倍西格玛，则成高包含概率（99.73%）的区间半宽，即随机误差范围。

B 有人觉得取绝对和偏大，就想法，仿照随机误差的“均方根”，而用“方和根”。误差理论已有这种作法；到1993年GUM推行不确定度论及不确定度评定之后，“方和根”成了不确定度评定的唯一选择。这问题就大了。“方和根”方法要求两大条件：独立（不相关）、大量。随机误差与随机变量可满足；经典测量的处理随机误差，阿仑方差处理随机变量，都是成功的。

不确定度论问世指谪误差理论合成方法不统一，于是想尽办法去统一于“方和根”处理方法。把各项误差限退化为标准不确定度（方差），用“方和根”合成，再乘系数，得扩展不确定度，绕了一个大湾，目标就是统一于“方和根”的合成方法。许多人被蒙骗了，以为方差就可以取“方和根”。这是不对的。《费书》的前三章，正文指出，被开方的项中，包含有交叉项，只在相关系数为零时，才能简化为取“方和根”。这是严格的，正确的。陈晓怀教授的第四章，虽然讲不确定度评定，却坚持了误差理论的传统，表达与费教授完全相同，也包含交叉项，这是严格的、正确的。

但是，我们看到，出现了完全不该有的现象。费教授在实例中，违背了自己的理论。把明明可能是相关的问题，当不相关处理了。这不是近似计算的问题，因为忽略交叉项是无视同阶量，构成错误。在误差分配中，完全以“方和根”为基础，这是不妥当的。如果改成以“绝对值之和”为基础，既合理又可靠。请问费先生：您怎么忘了最经典的方法？

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至于第4章，开始陈晓怀教授写了相关项，这是正确的。可惜在具体处理上，依然是随了不确定度论的大流，一律取“方和根”。这当然是错误的。

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关于相关系数，不确定度评定有时提一句：不相关。第一，不符合实际，第二明明是摆架子，明明相关，你说个不相关，不能不错。不确定度评定一律按不理相关处理，而事实上，大多数不是不相关的，因而也就大多数不对。

除了不相关、全相关（相关系数为1）以外，具体计算与测量相关系数是很麻烦的，人们也就习惯于“掩耳盗铃”，模仿他人算吧，于是，在合成问题上，构成不确定度评定的大错。这种错误，贯穿于绝大多数的不确定度评定中。老史今天把这个问题揭开盖子，大家看，是也不是。对不起，就拿《费书》第四章第一个实例开刀。

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（二）《费书》的计算实例

以下照片的内容引自《误差理论与数据处理》第6版p90

（三）按经典误差理论的计算（题目同上）

经典方式（《数学手册》1980 版）的公式

物理公式

          V=πD^2 h /4                                                           (3.1)

微分：

          dV = (?V/?D)dD + (?V/?h)dh

               = （πh D/2）dD +(πD^2 /4)dh

小量：

              ΔV =(πh D/2) ΔD +(πD^2 /4) Δh

ΔV是误差元，误差元的绝对值的最大可能范围是误差范围，误差范围是：

              |ΔV|max =│(πh D/2) ΔD +(πD^2 /4) Δh│max

                    =(πh D/2) |ΔD|max + (πD^2 /4) |Δh|max                       （3.2）

设δ表示相对误差的最大绝对值，（3.2）式除以体积公式，则有

      δV = 2δD +δh                                                                                         (3.3)

δV = |ΔV|max / V；δD = |ΔD|max / D；δh = |Δh|max / h

(3.3)是经典误差理论的误差范围公式。乘变加，n次方变乘n。多么简洁、易算！

已知|ΔD|max =0.01mm ，|Δh|max = 0.01mm ,则有

           δD = 0.01/10.08 = 0.001

           δh = 0.01/10.11 = 0.001

又 V=3.1416×10.08^2×10.11/4 =806.8 mm^3

有

           δV = 2δD +δh = 0.003

误差范围为：

           R(V) = 806.8×0.003 = 2.4mm^3

圆柱体积的测量结果为：

               V = 806.8mm^3 ± 2.4mm^3                                                          （3.4）

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说明：

（1）测量结果V = 806.8mm^3 ± 2.4mm^3，以99.73%的概率包含体积真值。

（2）尺寸重复性测量，体现的平均值的随机误差，应在0.01mm的指标内，不宜重计。

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（四）史锦顺的评论

1 误差量不同于一般量值。一般量要求准确，有上下限；而误差量的着眼点不是它本身有多准，而是必须说明它的绝对值的上限，就是确定误差范围。对同一问题，给出的误差范围越大，越可靠。

2 多次测量，取均方根，用西格玛表示随机误差，是合理正确的。

3 计算误差范围的方和根法，要求的条件是不相关、大量。相关系数为零，数据量大，才能采用方和根的求法。通常的情况是，相关系数不为零，数据量小，方和根公式不成立。《费书》，有相关系数项，理论上正确，但实际上行不通；因为具体确定相关系数，十分繁难，可以说，没人干这种笨活。怎么办？一句话：设相关系数为零。于是，不再考虑相关系数，就按方和根处理。

这是《数学手册》（1980）以后年代，计量测量界的一大弊病。现代派的误差理论（包括《费书》）与不确定度论，概莫能外。《费书》的误差理论部分，第四章的不确定度论部分，以及以GUM为代表的不确定度论，都是取方和根，因而都错了！

测量仪器误差的主要部分是系统误差。用同一把尺测量的圆柱的直径、高度，这些量的误差不可能不相关。你设它不相关，是掩耳盗铃，是错误计算。

4 绝对值合成，计算简单，不要求条件。相关不相关、分布如何、数据量大小，都没关系，都可用绝对值合成来计算。

5 GUM说相关系数为零，得出方和根公式。相关系数为＋1，得出绝对值公式。前一句说得对，要用方和根公式，必须相关系数为零。正是这句话，把不确定度评定的绝大部分计算打上了错号，因为绝大部分相关系数不是零，也就都算错了。

第二句话，不全面。相关系数为＋1，固然可得出绝对值之和；但绝对值之和的公式可以从误差范围的定义“误差元的绝对值的最大可能值”出发，解绝对值公式，就得出了，不附加任何条件。这是经典测量学早已解决的问题。

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误差合成方法，一繁一简，对比鲜明。

简单方法正确，而繁杂方法却错误，这个论断新颖，值得思考。

简单方法受欢迎，有益处；繁杂方法理论上有毛病。实用上有隐患，不能不理会。

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修改 3# 史锦顺 文

        倒数第5行为：这又是GUM引出不确定度是的第一个定义式
     其中“是”改为“时”。

回复 5# njlyx


    更正：
      经典“误差理论”中的“系统误差”主要是强调自身序列的前后“相关”--自相关系数近似为1。 不同“系统误差”分量之间是否相关，还是要看情况！各“系统误差”分量“合成”时不一定都应取“绝对和”，在能确定两个“系统误差”分量之间无关的情况下，两者的合成还是应取“方和根”--- 例如测量系统校准时所用标准器引起的‘误差分量’与测量系统非线性引起的‘误差分量’之间应该是‘不相关的’，两者的‘合成’就该取“方和根”；在不能确认‘互相无关’时，则按“绝对和”‘合成’是稳妥的方案。
     .........5#回急了，特此更正。

　　正如史老师所说“误差范围又叫最大允许误差，是仪器的指标，要经过计量（有合格证）”，因此，误差范围是给定的，或者也可以是一组测量结果与被测量真值（上游测量过程的测量结果）之差中，最小误差与最大误差两个极限误差限定的范围，因此误差范围是评价用该测量设备测得的所有测量结果这“一组”测量结果准确性的，误差则是某一个测量结果偏离被测量真值的程度，是评价“一个”测量结果准确性的。在评价测量结果准确性方面误差理论是正确性和科学性是无与伦比的。
　　不确定度则是评定者凭所掌握的测量过程信息主观“估计”出来的，所谓A类B类只是估计方法的分类，无论用哪个方法估计，都是个“估计”，并不是标准/规范给定或“合格证”给出的，它不能用来评价测量结果的准确性，只能用来评价测量结果的可信性。在评价测量结果的可信性方面，不确定度也是无与伦比的。
　　不确定度和误差定义不同，含义不同，来源不同，大小不同，用途不同，不确定度与误差各有各的应用场合，各有各的生存空间，各有各的理论，没有可比性。任何将不确定度与误差画等号，或视不确定度是误差的一部分的做法都是概念混淆，都是错误的。

回复 11# njlyx


      因为要做两种计算方法的比较，我也就按原书的“理想模型”的方式进行了。
      对一个实际工件的检测，要选用准确度够格的测量工具；但更重要的是要注意实际尺寸的变化，包括直径的变化与高度的变化。
      测量直径要选不同的10个采样点，测量高度也要选10个不同的采样点。
      测量出的直径的数值变化，一部分来自测量工具的随机误差，而另一部分来自圆柱体本身直径的不均匀。
      我主张把测量分成两类：基础测量与统计测量。基础测量是对常量的测量；统计测量是对变量的测量。
      基础测量考究的是测量的误差问题。统计测量考虑的是量值本身的变化。
      基础测量的西格玛该除以根号N；而统计测量必须用单值的西格玛来表征被测量本身的分散性，即使用平均值来表征被测量，也不能除以根号N，必须用单值的西格玛。这一点在频率测量中十分突出。一般的测量，10次就不少；而频率稳定度测量，测量次数N，规定为100，除以10，还是不除以10，差别10倍。宇航测量的采样时间大概10毫秒。对10 毫秒的连续采样，N=10000，用时约两分钟，易做到。除以根号N（100），指标就缩小100倍，这是严重的夸张，是绝不允许的。
      不确定度的A类评定，规定必须除以根号N。请注意：GUM在引出不确定度概念时称：西格玛除以根号N,叫不确定度（言下之意：不除以根号N不是不确定度）。
      一律除以根号N的不确定度，没法表征统计问题。至今时频界特别是宇航测量计量中的频率测量坚决抵制不确定度论，主要原因就在于此。一旦有人在宇航中用不确定度评定，必定造成极大的隐患，无异于自毁。这不是哪个应用者的问题；而是不确定度评定的必然结果。不反对不确定度论，行吗？

已知|ΔD|max =0.01mm ，|Δh|max = 0.01mm，请问这 0.01mm是从哪来的？难道是测量仪器的分度值？

回复 2# njlyx


   

                                               答njlyx先生（1）

                                                                                                  史锦顺

【lyx质疑】

   [……未修的误差、各种未定系统误差，取绝对值相加，构成系统误差范围。系统误差范围与随机误差范围，按方和根合成为总误差范围，简称为误差范围。]

  如此，正是费先生书中（不涉及”测量不确定“的前几章）‘倡导’的做法，有什么不妥呢？  除了“未定系统误差分量”与“随机误差分量”的名称或宜适当‘矫正

【史辩】

请先生注意：史锦顺的主张（方括号中的话）中，加红的部分，是史锦顺此次帖中提出的新观点，就是：除了满足“独立”、“大量”二条件的随机误差之外的误差，“取绝对值相加”，而费先生书中，没有“绝对值相加”的说法。

费先生的方法，就是取各项之和（多项式）的平方，再开方（即我文中所称的去掉正负符号的第二路线）。这是严格的。但无法贯彻到底。把多项式平方，结果包括各项的平方之和，还有交叉项。N个项的平方，交叉项共N（N-1）个。怎么处理，这是难题。分四种情况。

1 特殊情况1，各项之大小与符号随机，“大量”条件满足，相互抵消。随机误差与随机变量在测量次数很大的条件下满足，因而，N项和的平方，等于各项平方的和（共N个数之和），全部交叉项的总和为零。这是方和根算法成立的情况。

2 特殊情况2，相关系数为+1，N项之代数和的平方，等于各项绝对值之和的平方，开方后，成为各项的绝对值之和。这与“取绝对值之和”的作法一样；但意义不一样。这里是“特例”，而“取绝对值之和”是第一种路线算的上限，对任何情况都成立。

3 统计测量。统计测量面对的是随机变量，而测量仪器的误差可略（系统误差是误差的一部分，当然可略），因此，统计测量可按方和根法处理。

4 基础测量。测量对象是常量，这是一般的测量，就是误差理论要处理的一般情况。误差范围的主要部分是系统误差（《费书》称未定系统误差），一般来说，独立的条件（相关系数为零）不成立，因此，方和根可能比多项式之和小，而误差计算要求的是上限值，因此，方和根算法不成立。

《费书》在理论部分，公式中包含相关系数，无疑是正确的。但是，相关系数，除零与+1可以判断处理外，通常是不便于处理的。理论上可以讲得头头是道，除了极特殊的理论研究，没人干“求相关系数”这种傻事、笨事。

《费书》的第三章（本来我只想驳斥第四章的不确定度），实际上处理问题，也抛弃了相关系数（也就是假设相关系数为零）。第一，费先生的实例计算，都不考虑相关系数；第二在误差分配部分，都是基于“方和根公式”，而一般情况下，“方和根公式”是不成立的。

由上《费书》的第三章，即费业泰先生本人，也是“方和根”派。基本公式中虽然有相关系数，而实用中不用，是徒有形式；本质就是“方和根”。

对系统误差的处理，老史本文提出的是“绝对和”，而费老书中实用的是“方和根”，大不相同。“绝对和”是误差的上限，符合误差量的特点，满足误差范围计算的要求，是正确的。计算方便，结果可靠、保险。而“方和根”计算的“不相关”条件一般不成立；结果偏小，不是误差量的上限。不可靠。

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至于系统误差与随机误差的名称，那是误差理论的特有语言。客观上有不同性质的误差，误差理论的分类是科学的。分类是分别处理的基础。否定误差分类理论，是不确定度论的败笔。看来，先生称“分量”，似乎已是不确定度论的语言。不确定度诞生伊始，有许多诬陷误差理论的说法。否定系统误差与随机误差的分类，是其中之一。不确定度论自已的A类B类，才是违反逻辑学分类规则的错误做法。

不确定度论的问题，绝不是“歪嘴和尚念错经”。不确定度论否定真值可知，立足点错了；否定误差可求，又不得不利用误差，逻辑乱了；舍实测而搞评估，路线错了；考核计量标准要计入被捡仪器性能，混淆了对象与手段的关系；不顾一般情况下系统误差不独立的实际情况，一律取方和根，合成公式错了；在被测量是随机变量时，必须用单值的西格玛表征分散性，而不确定度论一律除以根号N，统计公式错了；这又是GUM引出不确定度是的第一个定义式，因此不确定度一开始的定义式就错了……

一错再错，乃至全盘错，这就是我对不确定度论的基本评价。我不要求你赞成我的观点，但请你认真想一想我对不确定度论的各项置疑。

辩论也是一种乐趣。有啥说啥，不必讲面子。

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(开头的小字我放大不了，可能是系统问题。)

【】---- 如此，正是费先生书中（不涉及”测量不确定“的前几章）‘倡导’的做法，有什么不妥呢？  除了“未定系统误差分量”与“随机误差分量”的名称或宜适当‘矫正’。

倘若所有”误差分量“都按‘完全绝对相关’的‘最坏情况’考虑，那【多次”平均值“测量结果的‘测量误差限”小于单次测量结果的‘测量误差限”】就失去必要的技术支撑了！.....闭着眼睛完全按“不相关”考虑问题肯定不切实际；但走向另一个极端也是有问题的。.... 实用的办法就是将“测量误差”成份 “理想化的适当”分成两类：一类“完全绝对相关”；另一类“完全不相关”。任何实际的“测量误差”成份都包含二者！
所谓的“测量误差限”‘评估’或者叫‘合成’，实质还是‘猜测’....符合人们实际‘经验’的‘猜法’才是可取的。【 除了最高级的’测量基准‘问题，大多数‘猜测’出的“测量误差限”都是可以核查的——只要不惜代价。】

回复 12# 史锦顺


       要紧的是把概念理清楚，搞明白“条件”，不能梦想弄一个“无限适用”的东西出来！ 致于具体“合成”（计算）时是按‘绝对相关’取‘绝对和’，还是按‘不相关’取‘方和根’，还是应该“丰俭由人”，尽量有所判断，毕竟还有许多‘民用行业’要追求效益、允许承受较大的风险。

      史先生指出的除根号N的问题，是有人没搞明白其中的关系，把被测量自身的‘随机’变化与‘测量系统计量特性不理想所引起的测量误差’混为一团了，这可能真是当前“不确定度”应用中的糊涂官司？ 但如果要把它算作“不确定度”先祖的‘意思’，恐怕是有点冤枉。

回复 7# 285166790

   

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《误差理论与数据处理》（费业泰主编第6版2010年）第91页给出的条件是：“由仪器说明书获得测微仪的示值误差范围±0.01mm”。（正文照片中有。）

文中所用的数据是“误差范围±0.01mm”而不是“分度值”。

本文的目的是比较两种合成方法的合理性，两种方法都是基于“误差范围”，因此论述比较的道理成立。

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一般来说，分度值不等于误差范围。误差范围又叫最大允许误差，是仪器的指标，要经过计量（有合格证）。

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