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误差合成的“方根法”—— 测量计量理论与实务探讨...

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zhangsan 发布于: 2016-8-18 19:16 1591 次浏览 4 位用户参与讨论
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                            误差合成的“方根法”
                                       —— 测量计量理论与实务探讨(1)
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                                                                                                                                史锦顺
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(一)误差合成的两种思路
       经典误差理论的误差合成,随机误差自身用“均方根法”,随机误差间用“方和根法”,系统误差间用“绝对和法”。方法没能统一。
       GUM为代表的不确定度理论,统一采用“方和根法”,对随机误差的处理与经典误差理论相同,没有问题;但对系统误差的处理,用“方和根法”,出现严重问题。第一,合理性问题。在系统误差合成的条件下,二量和的平方的展开式的交叉项,不能忽略,交叉系数是+1或-1,因而此时不确定度评定中的“假设不相关”是不成立的。第二,为实行“方和根法”,带来五项难题:(1)需知误差量的分布规律、(2)化系统误差为随机误差、(3)假设不相关、(4)范围与方差间的往返折算、(5)计算自由度。其中有的很难,如(1)(4)(5);有的多数情况不对,如(3);有的不可能,如(2)。
       本文在网上讨论的基础上,提出统一处理误差合成的“方根法”。“方根法”体现误差量的“绝对性”与“上限性”两个特点,着眼于误差范围,统筹随机误差与系统误差的处理,把系统误差元与随机误差元都变成是误差范围的直接构成单元,用取“方根”的办法实现误差的绝对值化。为此,用可正可负的恒值β代表系统误差元;用三倍的随机误差元3ξi 代表随机误差对误差范围的贡献单元。这样,系统误差β与随机误差元3ξ对误差范围的贡献权重相同,都是1。于是,公式推导与合成处理,都方便,给出的处理办法,十分简洁。
       不确定度理论的思路是将众多的系统误差化向随机误差。此乃“众归一”。但系统误差多种多样,化向随机误差很难,甚至不可能。这就是不确定理论烦难乃至不成立的根源。
       本文的思路是使随机误差对误差范围的权重为“1”,使其与系统误差权重相同。此乃“一从众”。达到此目的的方法极其简单,就是对随机误差元乘以3。
       两种思路,导致处理方法一繁一简,难易分明。不确定度理论的烦难方法,基于不符合实际的臆想(用生产厂家不同、原理不同的多套仪器测量同一个量,系统误差有分布);本文的方法是基于客观实际(用同一套测量仪器,重复测量中系统误差为恒值)的严格推导。是非曲直,昭然若揭。
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(二)随机误差元构成的误差范围
       随机误差的处理,经典误差理论有成熟、完美的处理方法。
       测量实践中,人们易于认识随机误差。对常量的重复测量中,测得值的随机变化就是随机误差。
       随机误差元可大可小,可正可负。有四个特性:
       (1) 单峰性:小误差概率大;大误差概率小
       (2) 对称性:数值相同的正负误差概率大致相等
       (3) 抵消性:求平均值时正负误差可以抵消或大部分抵消
       (4) 有界性:很大的误差概率很小。(以3σ为半宽的区间,包含概率99.73)。
       按统计理论,随机误差是正态分布。
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       对随机误差,有如下定义与关系:
       1 随机误差元等于测得值减测得值的期望值(当无系统误差时,期望值是真值)。随机误差元的期望值是零。随机误差元为:
                 ξi = Xi- Z                                                                             (1)
       2 标准误差定义为
                 σ =√(1/N)∑ξi                                                                       (2)
       3 贝塞尔公式用测得值的平均值代换(2)式中的期望值,得到:
                 σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2}                                                (3)
       4 随机误差范围
                 R = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
                    =√(1/N)∑(3ξi)^2                                                               (4)
       5 由公式(4),有:
                 R=3σ(ξ)= σ(3ξ)                                                                     (5)
       随机误差元的3倍值(3ξ),其方根值等于误差范围值。因此3ξ对误差范围的权重为1。因此3ξ在构成误差范围时与系统误差的权重相同。以后,我们把随机误差元对误差范围的贡献因子取为1/3,而系统误差的贡献因子取为1。        
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(三)单项系统误差元构成的误差范围   
       系统误差元用β表示。β是可正可负的恒值。
       单个系统误差构成的误差范围
                 R =√(1/N)∑(βi)^2   
                   = |β|                                                                             (6)
       单个系统误差对误差范围的贡献是该系统误差的绝对值。
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(四)误差合成的理论基础
       函数的改变量,等于函数对各个自变量偏微分的和。就是泰勒展开的一级近似。
                f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo)                  (7)
                f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy                             (8)
                Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                                 (9)
       公式(9)是偏差关系的普遍形式。对所研究的特定函数来说,?f/?x、?f/?y是常数。
       偏差关系用于测量计量领域,x是测得值,xo是真值, Δx是测得值x的误差元;y是测得值,yo是真值,Δy是测得值y的误差元;f(x,y)是代表被测量的函数值, f(xo,yo) 是函数的真值,Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函数值的误差元。
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(五)交叉因子的一般表达  
       设函数的误差由两项误差Δx、Δy引起。由此,函数的两项误差元为:
                Δf(x) = (?f/?x) Δx
                Δf(y) = (?f/?y) Δy
       把分项误差作用的灵敏系数与该项误差归并,记为:
                Δf(x) =ΔX
                Δf(y) = ΔY

       函数的误差元式(9)变为:
                Δf=ΔX +ΔY                                                                       (10)
       对(10)式两边平方并求和、平均:
                (1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔX +ΔY)^2  
                      =(1/N)∑ΔX^2 + 2(1/N)∑ΔXΔY+(1/N)∑ΔY^2                   (11)
       (11)式右边的第一项为σ(X)^2,第三项为σ(Y)^2; (11)式右边的第二项是交叉项,是我们研究的重点对象。交叉项 为
                2(1/N)∑ΔXΔY =2【(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}】×
                           {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}
                          = 2J√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]                            (12)
       (12)式中的J为:
                 J =(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}             (13)
        称J为交叉因子。
       (注:J在此前记为r,称为相关系数。这和统计理论的相关系数,物理意义不一致。为澄清已有的混淆,本文称J为交叉因子。)
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(六)随机误差间合成的交叉因子  
       对随机误差的合成,ΔX是ξx, 代换为[X-X(平)];ΔY是ξy,代换为[Y-Y(平)],有:
                 J =[1/(N-1)][∑[Xi-X(平)][(Yj-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)]                    (14)
       由于ξx、ξy是随机误差,可正可负,可大可小,有对称性与有界性,多次测量,是大量的,因此,随机误差间的合成的交叉因子为零(或可以忽略)。(14)式是当前不确定度论引用的统计理论的相关系数公式。
       随机误差合成,“方和根法”成立,有
                σ(f) =√[σ(X)^2+ σ(Y)^2]                                                      (15)
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(七)随机误差与系统误差合成的交叉因子
       两个分项误差,一个是随机的,记为ξ,考虑到对误差范围的权重,取单元量为3ξ(ΔX);一个是系统的(重复测量中不变),记为β(ΔY)。
       代入公式(13),有
                 J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)]                                                  (16)
       系统误差元是常数可以提出来,有
                 J =(1/N) (3β∑ξi) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}                 (17)
       大量重复测量(例如N=20,N不得小于10)中,(17)式的∑ξi等于零或可以忽略,因此J近似为0,可以忽略。“方和根法”成立。
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(八)系统误差与系统误差合成的交叉因子
       设(13)式中ΔX为系统误差βx ,ΔY为系统误差βy,有
                 √[(1/N)∑ΔX^2]= |βx|                                                           (18)
                 √[(1/N)∑ΔY^2]= |βy|                                                           (19)
       则系统误差的交叉因子为
                 J =(1/N)(∑βxβy) / [|βx| |βy|]                                                (20)
                   =(1/N) (∑βxβy) / [ |βx| |βy| ]
                   =±1
       即有
                 |J|=1                                                                                  (21)
       当βx与βy同号时,系统误差的交叉因子为+1;当βx与βy异号时,系统误差的交叉因子为-1.
       当系统误差的交叉因子为+1时,(11)式为:
                 | Δf | =|βx^2|+2|βx||βy| +|βy|^2   
       即有
                 | Δf | =|βx|+|βy|                                                                   (22)
       (22)式就是绝对值合成公式。
       当系统误差的交叉因子为-1时,(22)式变为二量差的公式。因为通常只是知道系统误差之误差范围,又鉴于误差量“上限性”的特点,二量差的公式不能用。
       测量仪器的性能指标,给出的都是误差范围。
       单值量具,如果上级计量已给出修正值(不是一般的测得值,必须是给出的带有修正误差的修正值),并且已按修正值使用,则该量具的随机误差与修正前相同;而修正后的系统误差等于修正值的误差[(标准的系统误差与随机误差)+被检仪器的随机误差]。
       测量仪器,通常有几千到几十万个测量点。上级计量部门通常只能给出十几个到几十个校准点的修正值。只有这些点(或很接近的点)能修正;杯水车薪,测量仪器的绝大部分的测量点是不能修正的。就是修正过的点,也还是有系统误差的(等于校准时标准的系统误差与随机误差,再加上被校仪器的随机误差)。由于被检仪器的随机误差,经修正操作后转化为被检仪器的系统误差,因此修正并不一定好。除单值量具外,通常,测量仪器是不修正的。
      通常,测量仪器的误差范围指标值由生产厂家给出,由计量部门公证,测量者按仪器指标应用。直接测量,测量仪器的指标,就可看做是测量的误差范围(只要符合仪器使用条件,环境等的影响,已包含在仪器的指标中)。间接测量,要按间接测量的函数关系进行误差合成。测量仪器的误差范围指标值因以系统误差为主,要视其为系统误差值,按系统误差处理。
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(九)关于合成方法的主张
       误差合成,统一按“方根法”。对特定的误差种类,“方根法”分化为“均方根法”、“方和根法”、“绝对和法”、“混合法”。
       通常,测量仪器以系统误差为主。不能无视系统误差的存在。考虑到系统误差、随机误差都是客观存在,提出如下主张:
       (1)随机误差序列,用“均方根法”,随机误差之间,用“方和根法”;
       (2)随机误差范围与系统误差范围之间,用“方和根法”;
       (3)有多项中小系统误差项,仅有一项大系统误差(或没有大系统误差),它们之间的交叉系数,可能是+1,也可能是-1,有相互抵消、或部分抵消的作用,这样,可以用“方和根法”。
       (4)直接测量仅有两三项系统误差,要用“绝对和法”(适用于研制中确定仪器指标);
       (5)间接测量,仅有两三项测量仪器的误差范围,要用“绝对和法”;
       (6)有多项误差,在两项或三项大系统误差之间用“绝对和法”,其余的各种处理,用“方和根法”。总称谓是“混合法”。
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补充内容 (2015-11-11 14:39):
(二)之(4)概率为99.73后加%号。
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已有4人评论

沙发
buffona 发表于 2016-8-18 20:12:03
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       欢迎各位网友就此文表态。或赞成,或反对,或修改,各种意见我都认真听取。以往我回帖较少,此文因关系测量计量的最主要的基本操作,我将每帖必复。
       在认真研究各种意见的基础上,我将再次修改。经几轮反复后,拟向国家主管部门报告。如果得不到答复,再向国家领导机关报告。
       当前,国家推行“大众创业,万众创新”。这是振兴中华的伟大战略,鼓舞我们努力奋斗。在测量计量界,突破GUM/VIM局限,创立有中华特色的测量计量新学说,就是体现这个战略的具体行动。
       学习外国的先进的科学理论是绝对必要的。但要认真思考,消化了,才能吸收。特别是要有所鉴别,盲目地崇洋,就可能上当。
       置疑是创新的前奏。看出问题,不回避,就会有所前进。
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       我特别邀请与本文有关的如下两位学者发表意见。
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崔伟群
       1、你曾对我的“误差方程”提出尖锐意见,当时我们多次交锋。虽然你持批评态度,但我由此而完善了误差方程,我的收益不小。
       2、你关于“系统误差相关系数为+1、-1的论文,对我启发很大,成为我的误差合成观念从“绝对和法”到“方根法”转变的基础。这次我受益很大。
       3、你的两类区分:第一类,用一套测量系统测量,第二类,用多套系统测量,其中这第二类使我对“系统误差的随机性”说、“系统误差的分布”说,有了透彻的理解,弄清了这些说法的根源。原来这是天马行空式的空想。尽管你尚把它当成一类,却使我更看透不确定度论脱离人间实际的本质。更坚定了我全盘否定不确定度论的意志。
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李永新(njlyx)
       不久前才在网上搜查到你的身份,乃博士、教授、博导也。许多网友对我的论点持反对态度,而你却别具慧眼,肯定我对不确定度论的指摘与抨击。我曾说:你是我的知音。后来得知你的身份,更感到这种理解与支持的珍贵。
       语云:“人生得一知己足矣”。你能理解我的基本观点,使我感到后继有人(我生于1937.5,比你大25岁半)。望你能更进一步,打起反对不确定度论、建立中国式新理论的大旗。
       你的区分“量值的特性”与“测量的性能”的观点,我很赞成,这就是我的区分对象与手段的观点,正是我的“两类测量说”的核心思想。你我相距几千里,想到一块了。说明:这是客观规律,总会有人认识到。殊途同归。这是项测量计量的奠基性的工作,希望你能抓紧时机写成论文发表。(由于年龄、精力等的限制,我无力再在刊物上发表文章。)我已发表在网上的全部论述(三百二十篇短文),如果你需要的话,我无保留地全部赠送,不保留任何权益,包括名誉。
       这个“区分”的基本观点,是否定不确定度论的利器(不确定度论在这个问题上混淆了),也是任何测量计量理论的基础。你带博士生,研究透不确定度论的错误、另树旗子,足够十个博士论文的课题内容。同国际计量委员会等八大学术组织战斗而又能全胜,我看,值得有二十个博士与博士后共同或有序地为之战斗。我确信,中国人在世界测量计量界扛旗的一天,一定会到来!
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板凳
wangyoo2003 发表于 2016-8-18 21:32:51
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        先生说:“站在希望‘不确定度’应用健康发展的立场上,认同史先生指摘‘不确定度’应用现状中的大部分‘问题’,以为它确实有待完善。”

        先生又说:“(史)先生对‘测量误差范围’的‘求取’方法及相应概念表述方面做了许多努力,所论概念明确、条理清晰,值得晚辈钦佩。”

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        谢谢先生对本人抨击不确定度论活动的肯定,以及对探索误差范围求法的很高的评价。

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        诚然,在对待不确定度论的基本态度上,我们是有分歧的。你已多次表述,不确定度的问题是应用的问题,是讲解者、发挥者的问题。我则认为,不确定度论的错误是根本性的。在哲学、逻辑、物理概念、实际应用各个方面都有根本性的错误。它是不可知论与脱离实际的空想相结合而构成的怪胎,是一种给人找麻烦的伪科学。而且给重大工程造成隐患。我已写出三百多篇网文予以揭发,这里就不重述了。如果有网友指出我的任何一篇文章没道理,我将详细答复。

        我相信先生的鉴别力,有时间可看看我那些文章。我确信:你终将识破不确定度论的假面具,认识到不确定度论的不可救药的本质。当前,我们只能“求同存异”了。

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地板
一条龙 发表于 2016-8-18 22:22:47
“不确定度”现状中的许多“问题”,可能是不同行业应用时的关注点迥异而引起的认识“矛盾”,譬如对所谓“系统性”、“随机性”是否应该分类处理的认识{ 赞成史先生对相关说法的批判:【‘系统性影响所引起的’分量/‘随机性影响所引起的’分量】与【‘系统’分量/‘随机’分量】的“称谓”有什么本质区别?!近乎文字游戏。..... 问题的焦点其实是一部分人认为这两者没有区分的必要,而另一部分人则以为适当区分是有价值的。}

有一些问题是原有的“理论体系”就没有很好理清楚的,诸如史先生现在费力就“误差范围”完善的方方面面,以及对相应“认识主体”的依赖性问题{ 无论叫“(测量)误差范围”,还是称“(测量)不确定度”,都不会是一个纯客观的“指标”!}

当然,更多的则可能是具体应用者的理解“发挥”问题。

“不确定度”(表述)体系应该并不是铁板一块,它也在不断的“改版”。相信它会越来越好!
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5#
威风凛凛 发表于 2016-8-18 22:31:20
本人是赞成使用“不确定度”表述的。对“测量不确定度”含义的理解附和都成先生的观点。

站在希望“不确定度”应用健康发展的立场上,认同史先生指摘“不确定度”应用现状中的大部分“问题”,以为它确实有待完善。但基本不赞成先生彻底否定“不确定度”表述的观点。

在“不确定度”表述应用之前,大部分情况下都不会要求“测量者”在报告测量结果(测得值)时必须给出一个“可能的测量误差范围(测量误差限)”值,相应的,对此【“可能的测量误差范围(测量误差限)”值】的“求取”与“表达”缺乏统一的“规范”,侠义的“测量不确定度”“理论”可能就是这么个“规范”而已。先生对“测量误差范围”的“求取”方法及相应概念表述方面做了许多努力,所论概念明确、条理清晰,值得晚辈钦佩。只是以本人的认识,不能认同应该由【(测量)误差(元)——(测量)误差范围】替代【(测量)误差——(测量)不确定度】的“表述体系”。


另:本人并未对“(测量)不确定度”问题进行过系统“研究”,论坛上应该是各叙己见而已,还请先生不要拿网上搜来的那些虚名头示众。

补充内容 (2015-11-12 19:01):
各抒己见
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