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史氏测量计量学说(7)
——第6章 量传与溯源的误差方程
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史锦顺
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研究测量，发明测量方法，选择、构建测量方案，基本目标是减小测量误差。研究计量，建立标准，是在更高层次上讲究误差。
分析误差，准确地计算误差，是误差理论的重要内容。本文建立误差方程，解决了从误差实验值到误差（以真值为参考）的计算问题。说明在真值未知的条件下，是可以计算误差的。
贝塞尔公式的精髓是用平均值代换真值（或统计学中的期望值），为实际计算提供了可能；误差方程以上级标准的值代换真值，实现了用误差范围实验值求误差范围，于是误差范围可算了。真值代换，是误差方程的精华。
当前，误差理论随真值概念的被贬而受冤，这里有认识论的根源，而误差理论自身缺少计算方法，也是其蒙难的一个缘由。
有了误差方程，我们可以更全面地认识、论述误差，更有根据地为真值正名，为误差平反，重新竖起准确度的旗帜。相信，测量方程与误差方程会使误差理论面目一新。
准确性用误差来衡量。误差是测得值与真值的差距。误差一词有双重含义：误差元与误差范围。误差元定义为测得值减真值。误差范围是误差元绝对值的最大可能值。在人们的习惯用语中，误差范围又简称为误差。误差元的概念，只在误差理论一开始时用；而在误差理论主要表达中，特别是在实际应用中，所称的误差，都是指误差范围。
误差范围的概念，实际应用中又区分为几种。
A 误差范围。以真值为参考标准的误差元绝对值的最大可能值，有人称其为真误差范围，本书简称为误差范围，测量仪器的误差范围记为R，N级计量标准的误差范围记为R(N)。
B 误差范围实测值。以上级计量标准为参考标准，实测得到的误差范围（误差元的绝对值最大可能值），称误差范围的实测值,记为R(实验)。
C 误差范围指标值。测量仪器与计量标准的误差性能标志值（规格）。
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1 误差方程的基本形式
1.1 测量仪器
用测量仪器测量标称值为B的标准。
M表示测得值，Z表示被测量的真值。B为标准的标称值。r表示误差元，R表误差范围。计量中是用测量仪器测量计量标准，被测量的真值就是标准的真值。
r = M - Z
R =|r|max
=|M - Z|max
=|(M-B)–(Z-B)|max
=|M-B|max +|Z-B|max
=|r(实验)|max +|r(标)|max
R= R(实验) + R(标) （6.1）
R是测量仪器的误差范围，R(实验)是测得的误差范围，R(标)是标准的误差范围。-
1.2 计量标准
Z(N).表示N级标准的真值，B(N)为N级标准的标称值。要确定N级标准器的误差，要用上一级标准即N-1级标准器构成一台N-1级标准测量仪器。N-1级标准测量仪器由N-1级标准器加比较仪器构成。要求比较仪器引入误差可略，于是N-1级标准测量仪器与N-1级标准器误差相同。用N-1级标准测量仪器测量N级标准器，得M(N-1)。
r (N)= B(N) – Z(N)
R(N) =|B(N) –M(N-1) + M(N-1) –Z(N)|max
=|B(N) –M(N-1)|max +|M(N-1) –Z(N)|max
=|r(N,实验)|max +|r(N-1)|max
R(N) = R(N,实验)+R(N-1) （6.2）
R(N)是N级标准的误差范围（真误差范围），R(N,实验)是测得的N级标准的误差范围实验值，R(N-1)是N-1级标准的误差范围。
(6.1)式、(6.2)式是误差方程的基本形式。（6.1）式与（6.2）式的推导，可参考第5章误差合成的定理一与定理二。
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2 量传误差方程
量值传递是计量的基本工作方式。将基准的量值，在保证特定误差范围的条件下，逐等级传递给计量标准，直至测量仪器。
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标准序号 0（基准） 1等 2等 3等 …… N-1等 N等
误差范围 R(0) R(1) R(2) R(3) R(N-1) R(N)
误差范围 R(0) KR(0) K^2R(0) K^3 R(0) K^(N-1)R(0) K^(N)R(0)
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R(0)是基准的误差范围，不是靠上一等标准来赋值，而有专门的分析与测量的方法。
R(i)表第i等标准的以真值为参考标准的误差范围。又称真误差范围。
K是量值传递因子，误差范围之比，下一等比上一等。K=1/q 。
R(实验测)是以上一等标准的标称值为参考标准的误差范围的实测值。记为R(M).
R(实验标)是以上一等标准的标称值为参考标准的误差范围的标称值。又称实验要求值，或目标值，由计算得出。记为R(T)。R(T)是R(M)的允许的最大可能值。
下面求由误差范围计算误差范围目标值R(T)的公式。
由一般式（6.2）
R(i) = R(T,i) + R(i-1)
R(T,i) = R(i)- R(i-1)
R(T,i) = R(i)[1-q] （6.3）
量传是实际操作，是用i-1级标准考核i级标准的合格性。由于存在（6.3）式的误差方程关系，因此i级标准的合格标准不是R(i)，而是R(T,i).
误差范围的以上一等的标准为参考标准的实测值记为R(M,i)。
当
R(M,i) ≤ R(T,i) （6.4）
时，判为合格；否则不合格。
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3 溯源误差方程
3.1 测量仪器溯源误差方程
M表示测得值，Z表示真值。Z(N).表示N级标准的真值，M(N)为N级标准仪器的测得值。B(N)为N级标准的标称值。r表示误差元，R表误差范围。
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（1）检验测量仪器误差，要用N级标准测量仪器或N级标准器。
A 用被检测量仪器和N级标准测量仪器同测一量（其真值为Z），被检测量仪器测得值为M，N级标准测量仪器测得值为M(N)。
M – Z = M – M(N) + M(N) – Z
R = R(实验) + R(N) （6.5）
B 用被检测量仪器测量N级标准器，标准器标称值为B(N)、真值为Z(N)
M – Z(N)= M – B(N) + B(N) – Z(N)
R = R(实验) + R(N) （6.6）
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（2）检验N级标准测量仪器的误差或检验N级标准器的误差，要用N-1级标准测量仪器或N-1级标准器。
A 测同一量，N级标准测量仪器测得值为M(N)，N-1级测量仪器测得值为M(N-1)
M(N) – Z = M(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z
R = R(N实验) + R(N-1) （6.7）
B 用N级标准测量仪器测量N-1级标准器，其标称值B(N-1)、真值Z(N-1)
M(N) – Z(N-1) = M(N) – B(N-1) + B(N-1) – Z(N-1)
R(N) = R(N实验) + R(N-1) （6.8）
C 求N级标准器的误差，要用N-1级标准测量仪器来测它
B(N) – Z(N) = B(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z(N)
R(N) = R(N实验) + R(N-1) （6.9）
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（3）同理可知
R(N-1) = R(N-1实验) + R(N-2)
R(N-2) = R(N-2实验) + R(N-3)
……
R(2) = R(2实验) + R(1);
R(1) = R(1实验) + R(0)
R0是基准误差，由基准给出。
以上各式逐一写出，并用后式代替前式的最后一项，有
R = R(实验) + R(N)
R = R(实验) + R(N实验) + R(N-1)
R = R(实验) + R(N实验) + R(N-1实验) + R(N-2)
R = R(实验) + R(N实验) + R(N-1实验) + R(N-2实验) + R(N-3)
以下再代换掉R(N-3)……，最后成为
R = R(实验) + R(N实验) + R(N-1实验) + R(N-2实验) + ……
+ R(2实验) + R(1实验) + R(0,实验)
量值传递关系决定的级间误差范围之比值（上一级比下一级）为系数q，将以上各级误差实验值表为R(N实验)的倍数（^表乘方，*表相乘）
R = R(实验) + R(N实验) + qR(N实验) +q^2 *R(N实验) +……
+ q^(N-2)*R(N实验) + q^(N-1)*R(N实验) +q^N *R(N实验)
第2项以后把公因子R(N实验)提出，成为首项为1，比值为q的N+1项的等比级数，
R = R(实验) + R(N实验) [ 1+ q + q^2 +……
+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ] （6.10）
等比级数求和，略去q的高阶项q^(N+1)。
结果为
R = R(实验) + R(N实验)/(1-q) (6.11)
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3.2 计量标准溯源误差方程
对N等计量标准(包括已纳入计量系列的测量仪器)，(6.10)式改写为：
R(N)= R(N实验) [ 1+ q + q^2 +……+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ]
解得
R(N) = R(N实验)/(1-q) (6.12)
（6.11）式与（6.12）式是溯源误差方程。
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4 误差方程的意义
4.1 经典计量学的作法
计量讲究溯源性。误差方程是关于溯源性的计算。
计量单位的值，古代各国家、各地区不同。近代世界大发展、大交流，于是有了国际单位制。国际单位制，采用十进制，单位体系简约、科学，现代为世界各国普遍采用。我国采用国际单位制。
计量单位的定义由国际计量大会决定。
复现单位量值的设施称基准。我国的国家基准在中国计量科学研究院。基准校准一等标准，一等标准校准二等标准，依次类推，由N等标准校准或检定测量仪器，这就是计量的量值传递系统，由上而下的量值流程称量值传递；而测量仪器每年要向上级计量部门送检，用N等计量标准确定仪器是否合格（是否符合误差范围指标），N等计量标准每年要用N-1等计量标准检定，依此类推直至基准。这个由下到上的寻求量值准确性的过程称为计量的溯源性。同一种量的测量仪器全国千千万，但量值的准确性归根结底都来自基准。
测量仪器的误差范围由N级标准来判断，N级计量标准又由上级计量标准来确定，这是可行的，也是正确的方法。但由此产生的误差（即误差的误差）是多少，这个问题可由误差方程处理。学问简单，却没人仔细推导。笔者给出简明的误差方程，证明经典作法是正确的。
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4.2 误差方程计算
1 公式因子计算
q 1/3 1/4 1/5 1/6 1/8 1/10
1/(1-q) 1.50 1.33 1.25 1.20 1.14 1.11
2 误差范围实验值该扩大的百分比(K=1/q，是下一级对上一级误差范围之比)
q 1/3 1/4 1/5 1/6 1/8 1/10
K 3 4 5 6 8 10
扩大百分比 50% 33% 25% 20% 14% 11%
3 误差范围实验值代替误差范围产生的相对偏差
[R(实验) – R] / R =R(实验) / R–1 = - q
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4.3 误差方程的意义
推导中每步都用真值，但结果中不包含真值，实现了用标准值对真值的代换。
误差方程完成的是上级标准值的功效到真值功效的过渡。
误差方程实现了从误差实验值到误差（即真误差）的计算。
指出：目前我国某些计量领域中，q取1/3，偏大；应取1/4。随着技术的发展，q会更小。
有了误差方程，可以解除对误差理论的疑虑了。
误差方程出世了，误差范围（真误差的范围）可以计算了；所谓“真值未知，误差不可求”的佯谬破解了。
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