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讨论：合格性判别公式的推导与鉴别
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史锦顺
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1 在测量计量中，必须明确对象与工具，即明确表达的目的与所用手段间的区别。
2 测量计量中，总是对象与手段共同作用。必须用“孤立法”将二者区分开，才能确定表征量的归属。常用的方法就是突出一方而忽略另一方。测量中选用够格的测量仪器，计量中选用够格的计量标准。所谓“够格”，就是手段的误差范围远比对象的误差范围小。
3 解决工程的问题，要有明确的物理概念，规律要表达为数学的推导。
4 误差理论有数学推导；误差理论虽有近似，但有九成以上的近似程度。误差理论是正确的，经历了近代科学技术、近代工业发展的考验。是成功的理论。
5 在应用测量领域，误差理论局限于常量测量。现代大量统计测量的出现，经典误差理论已不能完全适应，时代呼唤新的测量计量学说。新学说必须涵盖常量测量与统计变量的测量。
6 不确定度理论的诞生与传播，有其历史的必然性。但笔者认为：不确定度理论错误多多。这是计量界的大事。有必要一条一条讨论清楚。
7 合格性判别公式，是计量（包括检定与校准）、检验、验收等工作的重要依据，实用又常用，必须正确，不能有任何含混与迁就。
8 推行不确定度论以来， U95出现在合格性判别公式中。合适吗？应该讨论清楚。
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讨论的过程，是说理的过程；只要有道理，迟早会被人们接受。一时达不到共识，也不必着急。讨论的过程是明辨是非的过程，也是提高学术水平、锻炼思辨能力的过程。各种观点摆出来，就是“百家争鸣”。
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坦率地说，我的目的是传播自己的学说。但讨论中却也收获很大。看到李永新（njlyx）、崔伟群二位关于“系统误差的相关系数为+1或-1”的论断，深受启发，由此而推演出“交叉系数”的一套理论。这是由学术讨论而碰发出的思想火花，是测量计量理论的一大进展。尽管包括李、崔二位在内的网友们尚不承认，但我认为，抓住“交叉系数”这个核心，就解决了误差合成法的难题，破解了不确定度论的五大难关。是金子总会发光的。对此，我充满信心。
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这里争论的话题——合格性判别的公式正误的问题，也十分重要。老史的挑战是：用数学推导来论证是非。
公式正确，必须能推导；不确定度论的公式不能推导，说明它没有根基。谁赞成不确定度论的公式，请你来推导一下。
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老史的主张与推导，见附录1和附录2。主体在本栏目发表过，此次重刊，略有修改。
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【附录1】 计量中的R(标)与U95
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“计量的误差范围是所用计量标准的误差范围”，这个说法，是针对检定中的合格性判别来说的。合格的判别公式应为：
|Δ|max ≤ MPEV – R(标) （1.1）
不合格的判别公式应为：
|Δ|max ≥ MPEV + R(标) （1.2）
现行国家计量规范《JJF1094-2002 仪器特性评定》规定的合格性判别式为：
|Δ| ≤ MPEV– U95 （1.3）
不合格的判别公式为：
|Δ| ≥ MPEV + U95 （1.4）
中国合格评定国家认可委员会（cnas）的《CNAS-GL27声明检测或校准结果及与规范符合性的指南》，所用的待定区半宽，也是U95。
由于U95中既包括了必须包含的标准的误差范围R(标)，也包括了不该包含的被检仪器的重复性、分辨力等性能，合格性判别用U95是错误的。
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有一种情况，那就是检定中为确定被检仪器的修正值而测量系统误差的操作。被检仪器有系统误差，也有随机误差。为减小被检仪器的随机误差对确定系统误差的影响，要进行多次测量。平均值的随机误差σ(平)、被检仪器的分辨力误差，与计量标准的误差范围R(标)共同构成确定系统误差时的误差。
校准更重视测定被检仪器的系统误差。U95是确定系统误差时的误差范围。
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对确定系统误差，要计及被检的重复性、分辨力引入的测量误差。可用U95。而对合格性判别（包括CNAS所称的符合性判别）及计量能力的评定，不能用U95，而该用R(标)。
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【附录2】校准（包括检定）的误差分析
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计量业务有两种主要的模式：检定和校准。过去，我国都是检定；改革开放以来，鉴于国际上计量的主要模式是校准，我国也就兴起“校准”这一行。
校准业务有两项基本内容。第一，确定被校仪器的系统误差，以给出修正值。第二，判断被校仪器的合格性。这第二项与检定业务相同。
合格性管理，是生产、贸易的重要管理内容。计量是保证量值准确的活动，计量的合格性管理，尤其重要。计量法规定测量仪器必须进行计量，就是必须通过计量的合格性判别。计量部门进行校准业务，应该给出合格性判别。
说“校准可以不给出合格性判别”，是不当的。已校准，就不可能同时再检定；因此，校准应该兼任检定的判别合格性的职能。如果校准不判别合格性，校准过了，有校准证书，却不一定合格，这样极易造成使用中的误解。广大用户为便于实际应用，也要求校准给出合格性的结论。
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1 校准（包括检定）时，合格性判别的计量误差
1.1 测定被校仪器误差时的误差
校准中的合格性判别同于检定中的合格性判别。计量合格性判别的误差，称为计量误差。校准与检定的计量误差是一样的。
计量的误差公式推导如下。
必须认清：求什么，用什么，靠什么，得什么。物理公式必须物理意义确切。必须是因果分明的“构成公式”。
校准（检定）是用被校仪器来测量计量标准，以求得测量仪器的误差。实用操作有两种形式。1 固定标准的量值，读被校仪器的示值；2 固定被校仪器的指示值，而读取计量标准的示值。这两种形式的本质是一样的，就是把计量标准的值视为真值Z（用标称值B代换），而被校仪器的示值是M。校准的的合格性判别，目标是求被校仪器的误差，因此测得值是误差元。
误差元必须是测得值与被测量真值之差，而得到的是测得值与标准标称值之差；对计量本身的误差分析，就是求这二者的差别。
设被校仪器示值为M，计量标准的标称值为B，标准的真值为Z；仪器的误差元（以真值为参考）为r(仪)，得到的仪器示值与标准的标称值之差值为r(示)，标准的误差元为r(标)。
1 目标是求得测量仪器的误差元：
r(仪) = M – Z （1）
2 实际得到的仪器的视在误差元为：
r(实验) = M – B （2）
3 标准的误差元为
r(标) = Z-B
4 （2）式与（1）式之差是计量误差元：
r(计) = r(实验) - r(仪) =（M-B）-（M-Z）
=（Z-B）
= r(标) （3）
误差范围是误差元的绝对值的最大可能值。误差范围关系为：
│r(计) │max = │r(标) │max
即有
R(计) = R(标) （4）
（4）式是计量误差的基本关系式，计量误差由标准（及其附件）的误差范围决定。计量误差与被校仪器的误差因素无关。
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1.2 测定被校仪器误差范围的操作
测量仪器性能的表征量是误差范围，因此必须求误差元的绝对值的最大可能值。求最大可能值的严格方法是统计方法，但通常的检定工作都是采用简化法，但不能忘记找最大差值这个要点。校准要测定系统误差，不能简化。校准的两项业务，操作可一并进行；而误差分析，区别甚大，要分别进行。
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用统计方法找误差元绝对值的最大值
设标准的真值为Z，标称值为B，对第j测量点的仪器示值为Mji，在第j测量点测量N次（i从1到N）。
1）求平均值M(平)。
2）按贝塞尔公式求单值的σ。
3）求平均值的σ(平)
σ(平) = σ/√N
4）求测量点的系统误差范围
r(系) = M(平)－B
R(系)= │M(平)－B│ （5）
5）平均值的随机误差范围是3σ(平)。
6）单值随机误差范围是3σ。
7）被检测量仪器的误差范围由系统误差范围R(系)、确定系统误差时的测量误差范围3σ(平)、分辨力误差和示值的单值随机误差范围3σ合成。因参考值是计量标准的标称值，称其为误差范围实验值，记为
Rj(实验)=√{[M(平)－B±3σ(平)±3σ]^2}
=√{[M(平)－B]^2+[3σ(平)]^2+(3σ)^2} （6）
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1.3 被校仪器的合格性判别
设被校仪器的校准点的误差范围是R，而该点的指标值是Rj(仪/指标)，若
R ≤ Rj(仪/指标) （7）
R是被校仪器的真误差值（参考值是真值）。而实测的仪器的误差范围，是以标准的标称值为参考值的。计量中实测得到的是被检仪器的误差的测得值Rj(实验), 为与现行规范衔接，并强调取最大值，记为|Δ|max，误差量的测量结果是：
R = |Δ|max±R(计)
= |Δ|max±R(标) （8）
判别合格性，必须用误差的极限值与仪器指标比。
（A）由于计量误差的存在，R的最大可能值是|Δ|max+R(标)。若此值合格，因仪器误差绝对值的其他可能值都比此值小，则所有误差可能值都合格。因此，合格条件为：
|Δ|max+R(标) ≤ R(仪/指标)
即
|Δ|max ≤ R(仪/指标) - R(标) （9）
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（B）由于计量误差的存在，R的最小可能值是|Δ|max - R(标)。若此值因过大而不合格，因仪器误差绝对值的其他可能值都比此值大，则所有误差可能值都不合格。因此，不合格条件为：
|Δ|max-R(标) ≥ R(仪/指标)
即
|Δ|max ≥ R(仪/指标) + R(标) （10）
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为充分显现误差元的绝对值的最大可能值，要根据测量仪器的特点，合理的设置标准的标称值。标准的标称值要有足够的细度、足够的量值范围，合理的分布。校准中，要有足够的采样点，有足够的测量次数。要重点针对测量仪器的薄弱点。总的原则是要找到测量仪器误差范围的最大可能值（或接近值）。
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标准的设置值要有足够的细度，这要求标准的分辨力，要比被检仪器的分辨力高十倍左右。
在合格性判别中，找|Δ|max时，要微调标准值，以体现被检仪器分辨力的作用。
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2 测定系统误差时的计量误差
2.1 测定系统误差时的操作
校准的另一个任务是测定被校仪器的系统误差，以确定该仪器的修正值（等于系统误差的负值）。
测定系统误差的方法是用被校仪器测量计量标准。操作与测定仪器误差相同。
设标准的真值为Z，标称值为B，对第j校准点的仪器示值为Mji，在第j测量点测量N次（i从1到N）。
1）求平均值Mj(平)。
2）按贝塞尔公式求单值的σj。
3）求平均值的σj(平)
σj(平) = σj /√N
4）求测量点的系统误差
rj(系/视) = Mj(平)－Bj （11）
为满足修正的需求，要选定足够的校准点数m(j从1到m)。
5）求分辨力误差
用“保持被检仪器示值不变，微调标准值”的方法，测得被检仪器的分辨力。
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2.2 测定系统误差时的误差
系统误差的测得值为：
rj(系/视) = Mj(平)-B±分辨力误差
真系统误差（系统误差定义值，以标准的真值为参考）
rj(系/真) = EMj-Z （12）
则测定系统误差时的误差为
rj(系/计) = rj(系/视) - rj(系/真)
= [Mj(平) -B]-[EMj-Z] ±分辨力误差
=[Mj(平) -EMj]-[ B-Z] ±分辨力误差
=±3σ(平) ±分辨力误差 ± R(标) (13)
测定系统误差的误差，由被校仪器示值的平均值的标准偏差、被校仪器分辨力误差和计量标准的误差合成。可能较大的误差是随机误差，按“方和根法”合成。
测定系统误差时的误差范围为
Rj(系) =√{[3σ(平)]^2 + [R(标)]^2+[分辨力误差]^2} （14）
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3 校准结果的表达
3.1 被校仪器的误差范围
（A）被校仪器的误差范围的测得值
|Δ|max = Rj(实验)
=√{ [M(平)－B]^2 + [3σ(平)]^2 +(3σ)^2}
（B）测定仪器误差时的误差（计量误差）
R(计) = R(标)
（C）仪器误差的测量结果：
R =|Δ|max±R(标)
（D）合格的判别条件
|Δ|max ≤ R(仪/指标) - R(标)
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3.2 被校仪器的系统误差
（A）被校仪器的系统误差的测得值
rj(系/视) = Mj(平)－Bj
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（B）测定系统误差的误差范围
Rj(系) =√{[3σ(平)]^2 + [R(标)]^2+[分辨力误差]^2}
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（C）被校仪器的系统误差的测量结果
rj(系/真) = [Mj(平)－Bj] ± Rj(系)
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