——测量计量基本概念(8)
史锦顺
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误差合成的算法，是个争议颇大的话题。上段讲误差范围的确定，用的是绝对值相加。本文的基本观点是：基于误差量的特点，绝对值相加的方法，顺理成章。这种方法，合理、简单、实用、最受欢迎。
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（一）历史与现实情况
测量得到测得值。测量结果只有测得值不行，还要说明误差情况。测量结果的第一部分是测得值，第二部分是误差的表征量。历史上，测量结果有过不同的表征方法。第一部分都一样，必然是测得值；第二部分却不同，有过多种形式。因为误差元可正可负，不能取平均值，必须去掉正负号，于是出现如下几种处理方式。
1 算术平均误差（绝对值的平均值，不同绝对值等权）
2 标准误差σ（用贝塞尔公式计算）
3 或然误差（最可几值，包含概率50%），γ=0.6745σ
4 范围误差（最大值减最小值）
5 误差范围（取3σ，包含概率99.73%）
6 扩展不确定度（不确定度理论主张取2σ，包含概率95.45%）
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测量仪器与计量标准，其性能取决于各项误差因素。分项误差构成总误差，其计算方法称误差合成。
1993年以前，误差理论讲误差合成，主流是混合法，既不一律绝对值相加，也不一律均方合成，而是看相关系数，只有随机的、相关系数为零的项才能均方合成，其他项绝对值相加。在实际工作中，分析相关性，并非易事，于是通常的处理办法是：明显的随机量，如示值的随机波动量，均方根处理，绝对值较小而又项目较多的误差项目（正负抵消的机会较大），按方和根处理，而数量较少且数值较大的项目，按绝对值相加。课题成果或新产品鉴定会上，常常为合成方法而争论。多用方和根合成，常常有非议，因为算小了误差范围，即高估了性能指标；而绝对值合成，没有争议，研制者既已在低估自己，别人也不好说三道四。
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1993年以后，以GUM为代表的不确定度论，主张一律均方合成。不确定度论的前提是“系统误差修正以后”，怎样怎样；其实，对大量测量仪器，并不修正系统误差。因为对系统误差，常常是在分析与测量的基础上给出其范围值，不好修正。况且一台测量仪器有成千上万个实用测量点，一般没有共同的、数值相同的系统误差项，难于修正。而逐点修正又不便于使用者。因此测量仪器通常不修正。方和根合成法的前提是二量之和的平方，等于二量平方的和，交叉项的总效果为零，这一点，对于系统性误差，也难于让人信服。况且，均方合成之值较小，不保险，也难怪人们有疑虑。不确定度论主张一律均方合成，主要理由是计算方法统一的主观需要，而并没有客观的实在理由。不顾事实的强词夺理，形成不确定度论的一大败笔。
以上大致是历史与现状。以下是笔者的认识与主张。
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（二）误差量的特点
误差量，既是量值，也不是量值。一些权威人物称误差是量值，这有一定道理，误差量有单位、有数值。从有单位、有数值这个角度说，误差是量值。但要注意，更全面地看，就显出误差量与量值有本质的不同。
第一，量值是事物的客观属性，与人的认识与否无关。测得值是人的认识，误差是测得值与实际量的差距。误差量与人的认识密切相关，是人的认识的产物。
第二，量值是客观存在，大小一定，表达量值，不可大，也不可小，要正好。而测量的误差却不许大，而可以小，越小越好。对测量仪器性能的表征来说，又可以把误差往大说，而不可往小说。
误差量有如此两个特点，也不好泛泛地称它是量值。我们还是把量值与误差量，区分称说，区别处理。本文则严格关注误差量的特殊性。
测量，包括为其服务的计量与仪器制造，要求误差越小越好。但以实践对准确度的要求为依据，人们定出误差范围的不同档次，以方便于测量仪器的制造与选用。基本办法就是规定误差范围的指标。误差范围是误差绝对值的上限。仅此而已。有了误差范围的指标，就规定了仪器生产的要求、计量公证的标准，使用者选用仪器与表示测量结果的依据。测量仪器的研制、生产、使用，用一个误差范围指标（准确度），贯穿起来，是人类社会的组织效果，一种人类文明的体现。
误差量的“上限性”，是误差量的特有属性，它必然体现于一切有关的测量计量理论中。在人类对误差量的认识与表达历史上，出现过多种表示方法，但以“误差范围”应用最广。全世界用过的以及正在用的测量仪器，都标有准确度，就是误差范围指标值。不同称呼有许多，如极限误差、误差限、最大允许误差、准确度等级等等，实际都是误差范围。
误差量的上限性，决定了误差量表征量“误差范围”的广泛应用。误差范围怎样计算？考虑这个问题的根本依据，就是误差量的上限性。
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（三）误差范围的计算
测量讲究准确，准确是测量的灵魂。计量以标准的准确保证测量仪器的准确，准确是计量的命脉。准确是测量仪器与计量标准性能水平的标志。准确的程度用误差来衡量。误差元等于测得值减真值，可正可负；误差范围是误差元绝对值的一定概率（3σ，99.73%）意义下的最大可能值，恒正。误差元是误差概念的元素，说明误差的物理意义；误差可正可负，时大时小，不便于应用。实用的是误差范围。误差范围怎样计算合理？这个问题争议很大，本文表明笔者的一种观点。
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什么叫合理，什么叫不合理？符合客观规律就是合理，不符合客观规律就是不合理。讨论误差的表征法，必须根据误差量的特点。
由各项误差，计算总误差，通常叫误差合成。有人以为过去的误差理论，没有误差合成的办法，这是不符合历史的错误说法。千百种的测量仪器与测量工具，历史上都是给出“准确度”指标的，每台仪器都标有“准确度”数值，不合成怎来这个数？十大类计量，有几百种计量基准、标准，都标有准确度，都是诸误差因素的合成结果，不可能没有合成计算。（合成计算是研制者的事，体现于测量仪器、计量标准立项论证、成果鉴定论证、学术论文中。）
不确定度论出世以来，为了给自己的出世找借口，公然说准确度是定性的。这是完全不顾历史事实的一种胡说，是现代版的指鹿为马。明明准确度都给出具体数值，怎能说是定性的？历史就是历史，事实就是事实，GUM也好、VIM也好，谁也否定不了历史，而不顾事实说谎话，是一种反科学的可耻行为。几个美国人说“准确度是定性的”，事实如何呢？笔者手头有一本美国HP公司的1995年的测量仪器样本，随便翻几页，就找到三百多个给出特定值的准确度，这是谁也改变不了的历史；在网上极易查到2013年的美国安捷伦公司、福禄克公司的测量仪器样本，各种仪器都标着准确度指标的数值，这就是现实，那几个说“准确度是定性的”的美国人，歪曲历史，无视现实，在瞪眼睛说瞎话……。我这里要声明一下，我的行业是时间频率计量，我遵从的计量法规是《JJF1180-2007时间频率名词术语》，此法规规定：准确度是定量的，准确度是偏差的范围，并给出数字实例。我激烈反对、驳斥“准确度定性论”，是有国家法规为后盾的。网友不必在老史是否守法上费话。
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不确定度论主张误差合成一律取方和根。第一，这是为了跟经典误差理论闹对立；第二否定误差分类，否定对系统误差与随机误差应区分对待；第三，看到误差理论处理办法中的区分麻烦，而要给出一个统一的处理办法，于是就主张统一到一律取方和根。
笔者深知，学问较高的人主张分析相关系数。相当多的人赞成取“方和根”，其理由是：似乎这样不大不小，合适。这是把误差量等同于一般量值，而产生的误解。
笔者认为，学术水平高，分析相关系数，不必异议，但这是极少数人的事，能做得精是好事。但不好推广，也不一定必要。我认为，注意到误差量“上限性”的特点，取绝对值合成最好，
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（四）主张算术合成
算术合成就是各分项误差范围（都是正值）相加。
设测得值函数为
M = f(X1,X2,X3)
泰勒展开的一阶项是
ΔM = (?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3
误差范围为：
R =│ΔM│max
=│(?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3│max
=│?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max
=│?f/?X1│R1 + │?f/?X2│R2 + │?f/?X3│R3
= R(1) + R(2) + R(3)
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笔者的主张是取绝对值合成，即算术合成。理由如下。
1 符合最一般、最通用的误差理论知识
如数学手册（1980版）
设a是A的近似值，b是B的近似值
│a-A│≤Δa
│b-B│≤Δb
(a+b)的误差=Δa+Δb
(a-b)的误差=Δa+Δb
从误差的最一般知识不难看出，误差计算的抓手是误差范围。
2 符合误差范围的定义
设误差元为r, 误差范围为
R=│r│max
设误差元是三个数的代数和
r = r(1) + r(2) - r(3)
则
R = │r│max
= │r(1) + r(2) - r(3) │max
= │r(1)│max + │r(2)│max +│r(3)│max
= R(1)+R(2)+R(3)
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（五）合成方法比较
方法一 混合法
据笔者所知，历史上的合成方法，以混合法最多。明显的随机误差，数值较小而项目较多的系统误差，取方和根（将各项平方，求和，再开方）。大的系统误差取绝对值相加。
历史证明，混合法基本可用。
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方法二 方和根法
不确定度论主张一律采用方和根法合成。
要理由是期望统一算法。
反对误差分类说，认为任何误差都服从特定的分布规律。
不确定度论的方和根法：先将单项误差范围，除以因子，恢复至标准不确定度。将各个项的标准不确定度平方，求和，开方，得合成不确定度。乘因子2，得扩展不确定度，包含概率95%。
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【史评】
方和跟法起源于单项的重复测量的均方根法。均方根法表达的是随机误差。测得值对参考值之差，有正有负，不能取代数和。必须甩掉差值的正负号。去掉正负号的第一个办法是取绝对值，求和，平均。第二个办法是平方（正负号消失）平均，再开方。贝塞尔巧妙地实现了用平均值代换期望值，推导出贝塞尔公式。于是，贝塞尔公式得到广泛应用，成为测量计量学、统计物理的基础。
着眼点于绝对值（去掉正负号）本来有两种方法：取绝对值或取平方之根。由于贝塞尔的成就，使理论与应用都聚焦于平方之根。对重复性测量的随机误差或随机偏差，这样做是恰当的。而把这种方法，移植于性质完全不同的测量仪器研制中的误差合成，就不一定是必须的。况且，某些特性构成这种方式的原则性困难。
1 和的平方，通常不等于平方的和。即量间的相关系数不为零。而准确计算相关系数又非易事。
2 不确定度论反对误差分类。但系统误差与随机误差性质不同，是抹煞不了的事实。不确定度论认为系统误差，也是随机分布量；眼光甚大，例如说，用很多台测量仪器测量同一量值，仪器的系统误差必呈分布规律。但人们要处理的是用一台仪器来测量。用许多仪器测量同一量，是虚构。
3 都取方和根，等于承认各量间的相关系数为零，也就是承认二量和的平方等于平方的和，即交叉项的作用为零，这难于被人相信。
4 计算的指导思想，像是对待一般量值，是求“合适值”，而不是找最大值。
5 合成计算结果偏小。又取2σ，可靠性95.54%，降低要求，丢失信誉。
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方法三 算术和
对明显的随机误差，如示值的重复性，测N次，求σ，以3σ为随机误差范围。对其他单项误差，不分属性，一律寻找其绝对值的最大可能值，即其误差范围。
算术和法：取各个单项误差范围之和，就是测量仪器的误差范围。
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【史评】
1 符合最基本的数学原理（数学手册方法）
2 符合误差量的特点（上限性）
3 有实践基础
4 最保险
5 简单易行，设计者欢迎
6 可靠，测量者欢迎
7 鉴定会容易通过。
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（六）回答几点质疑
1 有人说：你都用绝对值相加，能保证相关系数都为1吗？
【史答】
计算相关系数，是计算交叉项贡献大小的需要，仅仅是取方和根算法的产物。当采用算术和法，即取绝对值相加时，因为是求最大范围值，与相关不相关没关系，不论相关系数多大，合成项的最大可能值都是各个单项的最大可能值之和。因此，避开了相关系数。
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2 能保证计量公正吗？设计者低估自己有好处，而计量者不能低估被检仪器的性能。
【史答】
指标合成、给出，都是测量仪器研制者的事。计量着眼点是测量仪器的总指标，不过问、也不进行分项误差合成。计量凭标准凭实测，考察的是仪器的实际误差范围（测得值减真值的范围），是否符合指标。因此合成方法，与计量无关。个别测量仪器给出的是分项指标，那就只好按分项指标检定。如仪器同时给出合成方法，就该按总指标检定，则检定既包括了分项指标，也包括了合成方法的合理性。
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3 是不是浪费
【史答】
实际工作中，绝对地既保险又不浪费，是不可能的。况且，指标仅是标志问题，不影响实际性能。国际最著名的测量仪器公司，所以信誉高，重要的一点是指标留有较大的余量。笔者验收过的国际著名品牌，实际误差范围常常小于其指标的二分之一，甚至三分之一。当然是余量越大越好。
成本与可靠性，误差理论历来偏重于可靠性，这是正确的方针。不确定度论把历来的3σ，改为2σ，是倒退的错误主张。一件有趣的事是：美国人的不确定度论主张“不浪费”的2σ（包含概率95%），这个本来对生产厂有利的主张，美国的测量仪器公司福禄克公司却宣布：本公司为对用户负责，所有仪器一率取包含概率99%，狠狠打了不确定度论一记耳光。一个实业公司，眼光竟远远高于那推行不确定度论的八大国际学术组织！
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