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交叉系数决定合成法（3）
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史锦顺
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4 误差合成的理论基础
函数的改变量，等于函数对各个自变量偏微分的和。就是泰勒展开的一级近似。
f(x,y)= f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo) （7）
f(x,y) -f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy （8）
Δf=(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy （9）
公式（9）是偏差关系的普遍形式。对所研究的特定函数来说，?f/?x、?f/?y是常数。
偏差关系用于测量计量领域，x是测得值，xo是真值, Δx是测得值x的误差元；y是测得值，yo是真值，Δy是测得值y的误差元；f(x,y)是测量仪器测得值或是间接测量被测量的测得值，简称函数值，f(xo,yo) 是函数的真值，Δf=f(x,y)-f(xo,yo) 是函数值的误差元。
5 交叉系数的一般表达
设函数的误差由两项误差Δx、Δy引起。由此，函数的两项误差元为：
Δf(x) =(?f/?x) Δx
Δf(y) =(?f/?y) Δy
把分项误差作用的灵敏系数与该项误差归并，记为：
Δf(x) = ΔX
Δf(y) = ΔY
函数的误差元式（9）变为：
Δf=ΔX+ΔY （10）
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对（10）式两边平方并统计平均：
(1/N)∑Δf?=(1/N)∑(ΔXi +ΔYi)?
=(1/N)∑ΔXi? + 2(1/N)∑ΔXiΔYi+(1/N)∑ΔYi?
RΔf? = RΔX? + 2(1/N)∑ΔXiΔYi + RΔY? （11）
（11）式右边的第一项为ΔX范围的平方RΔX?；第三项为ΔY范围的平方RΔY?；第二项是交叉项，是我们研究的重点对象。
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交叉项为
2(1/N)∑ΔXiΔYi = 2 [(1/N)(∑ΔXiΔYi) / (RΔXRΔY)] × (RΔXRΔY)
= 2 J RΔXRΔY （12）
（12）式中的J为：
J = (1/N)(∑ΔXiΔYi ) / (RΔXRΔY) （13）
称 J 为交叉系数。
（注：此前，J记为r，称为相关系数。这和统计理论的相关系数，物理意义有差别。为澄清已有的混淆，本文称J为交叉系数。）
当交叉系数可略时，误差范围的合成公式（11）变为：
RΔf = √ (RΔX?+RΔY?) （14）
（14）式是“方和根”合成公式。
当交叉系数为+1时，误差范围的合成公式变为“绝对和”：
RΔf =|ΔX|+|ΔY | = RΔX +RΔY （15）
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