《史氏测量计量学说》征求意见稿（4）...

《史氏测量计量学说》征求意见稿（4）

                                                                                                                              史锦顺        

第3章 测量方程与误差分析

       测量计量学是一门基础学科，应用十分广泛。许多项目，成绩卓著，如原子频标，已有数人获得诺贝尔奖。然而，作为测量学基础的、又是最常用的测量方程，却需要研究。现行分析方法的主要问题是：只着眼物理公式，忽视计值公式，未反映出测量与计量的特点；未区分已知值与待测值；变量与常量混淆；进行微分，物理意义不清，逻辑不顺；分析结果可能差值错位，也可能差正负号。
       本书依据测量计量的特点，提出区分量值的方法。基于这个方法，提出测量方程的新概念。
       以测量方程为基础，形成两套分析误差的规范化程序：
      （1）微分法：根据物理公式，写出计值公式，建立测量方程；在测得值函数中，分辨变量、常量；对变量求微分，求得偏差、相对差。
      （2）差分法：依据物理公式，写出计值公式，建立测量方程；写出测得值函数的相对值形式，分辨变量、常量；将变量展成常量加小量，近似计算，求得偏差、相对差。

1 区分量值的方法         
       测量是人们定量认识事物的手段。测量是将被测量与标准量相比较，以确定被测量与选定单位的比值。这个比值与所选单位结合起来，构成测得值。
       物理学研究物理量的规律，物理公式表达物理量间的关系。物理公式超脱测量误差。
       测量学的任务在于研究测得值。测量计量学的基础是基础测量（常量测量）。
       对基础测量，要研究如何取得测得值（测量方法），如何使测得值接近真值（精度设计），给出测得值与真值的偏差程度（误差分析）。要研究测得值的规律，就必须将测得值同真值区分开。要使测量中所用量的实际值同标称值相区分；使认定值同实际值相区分。
       区分量值是笔者提出的关于测量计量学新理论的一项基本方法。“区分量值”，就是是区分测得值函数中的各量，并加标记。
       体现测量原理的物理公式，是测量的基本依据。但物理公式中的量都是真值，我们承认它、依赖它，但分析时不能直接应用，而要设法代换。测量中用的测得量、标准量、已知量、标称量，要加脚标，以示区别。量加了脚标的公式，称计值公式，在测量中实际运用。不加脚标的公式是原物理公式，不加脚标的量值是真值（实际值）。
       物理公式代表的是物理规律，计值公式代表的是实际操作，测量中，二者共同作用。测量方程是物理公式与计值公式的联立方程。测量方程必然反映出实践与理论的差别、认识与客观的差别，这样就可给出测得值与真值的差，即给出误差。
       测量方程实现了用测得值、误差值对真值的代换。
       从测量方程出发进行误差分析，逻辑顺畅。于是，对测量计量学十分重要的误差分析，有了明晰的物理意义，有了严格的数理逻辑。
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《史氏测量计量学说》征求意见稿（4.3）

                                                                                                                          史锦顺  

第3章 测量方程与误差分析（续3）

4 误差分析的小量法
       本书把小量计算法，作为一种独立的处理误差问题的方法。指出：小量法有比微分方法好的地方：作法与结果的物理意义明晰，逼着人去区分测得值，区分变量和常量。
4.1 小量计算公式
       微积分是物理学家牛顿发明的。这个方法帮助牛顿建立了物理学史上的伟业。微分法在工程分析中的应用，总的来说，也是成功的。
       在处理误差问题的特定条件下，还可以另辟途径，用小量法。小量法不仅简便，还可以促进建立测量方程，促进分辨变量和常量，避免出现由于对微分法理解不当而产生的错误。本书的一项贡献，是用小量法更正了教科书用微分法对多卜勒测速误差的分析（见第12章）。
       在正常情况下，与量值本身相比，误差量总是小量。我们将通常的量值加误差的绝对形式写成相对形式：
                    (A+ΔA)/A = 1+ΔA/A = 1+Δ
       式中将相对误差δA记为Δ，必有Δ＜＜1。例如，Δ＜0.01。考察到Δ量级，Δ的2次方以及高次方项可略（同理，两个或两个以上不同Δ相乘项可略）。
                                  公式小集                                 
                        (1+Δ)^2 = 1+2Δ
                        (1–Δ)^2 = 1–2Δ
                        (1+Δ)^3 = 1+3Δ
                        (1–Δ)^3 = 1–3Δ
                        (1+Δ1) (1+Δ2) = 1+Δ1+Δ2
                        1/(1+Δ) = 1–Δ
                        1/(1–Δ) = 1+Δ
                        √(1+Δ)=1+Δ/2
                        √(1-Δ)=1–Δ/2
       这些易懂易记的小量公式，最常用。倘遇到其他运算方式或函数形式，可查数学手册，泰勒展开式略去2次方以上项即可。
4.2 小量法分析误差的程序
       首先写出物理公式，再写出计值公式，将计值公式除以物理公式，便得到测量方程。由测量方程写出测得值函数的相对值表达形式。分辨变量与常量，将变量展成常量加小量；近似计算（忽略二阶以上小量），得相对误差量。
4.3 实例 小量法分析数字式频率计误差元
1）测量方程的相对值形式
       计值公式(3.6)除以物理公式(3.5)，得频率计的相对值形式的得测量方程：
               fm / f =NrT/(NTn)                                                     （3.7）
2）微变关系  
       变量   测得值fm；读数Nr ；实际闸门时间T。
       A 对测量方程（3.7），变量展开成常量加小量
             ( f+Δfm) / f = (N+ΔNr) (Tn+ΔT)/(NTn)                       （3.14）
       B 相对差
              1+ δfm = 1+δNr +δT
              δfm = δNr +δT                                                         （3.15）
       因闸门时间由内标频率（频率为fb）分频而来，有
              T =K(1/fb)
              Tn =K(1/fbo)         
             T / Tn = fbo/fb
              (Tn+ΔT)/ Tn  = fbo /(fbo+Δfb)
             ΔT/Tn = –Δfb/fbo                                    
             δT = – δfb                                                                    (3.16)
      将（3.16）式代入（3.15）式，得
              δfm = δNr – δfb                                                           （3.17）            
      小量分析法结果（3.17）与微分法分析结果（3.13）相同。
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《史氏测量计量学说》征求意见稿（4.2）

                                                                                                                                   史锦顺        

第3章 测量方程与误差分析（续2）

3 误差分析的微分法
3.1 微分法分析误差的程序
       1 明确测量仪器（或测量方案，下同）的物理机制，写出表达物理机制的物理公式。
       2 对物理公式的量，按实际工作情况用脚标标记，得出计值公式。
       3 联立物理公式与计值公式，构成测量方程。
       4 根据测量方程写出被测量的测得值函数公式。
       5 分清测得值函数公式中的变量和与其对应的常量。
       6 在常数点，对变量进行全微分。
       7 将微分符号变成小量符号，得误差元公式。
       8 依具体情况，方便时可表为误差元的相对值形式。
       9 按“绝对和法”求得测得值的误差范围（见下章）。
3.2 误差分析实例 微分法分析数字式频率计误差元
       以高稳定的频率源为基础的精确的频率测量，在现代高精度测量中占重要地位。
       计数式频率计是最基本最常用的测频仪器。现行教科书上给出的计数式频率计的公式为：
                f = N/T                                                                    （3.5）
       式中N为计数值，T为闸门时间。由于没有区分测得值和实际值，用以分析，常常出错。此式明显标示，频率与闸门时间成反比。由此，若内标频率偏低，则闸门时间长，则频率值小；其实，恰恰相反：内标频率偏低，必有闸门时间值偏大，必定频率测得值偏大。
       式(3.5)是物理公式，不便直接用于分析测量问题；以往硬这样做，难免出错。有些作者看到了这一点，用取绝对值的办法来避免正负号的矛盾，这不能算错，但绕开矛盾，实际上也掩盖了矛盾。
       要做几种区分：区分频率的测得值与实际值；区分闸门时间的标称值与实际值；区分N的显示值与实际值。
       计数式频率计的计值公式为：
                fm = Nr/Tn                                                               （3.6）
       式中fm是测得值（被测频率的实际值是f），Tn是闸门时间的标称值(闸门实际时间是T)，Nr是计数器的指示值（N是理论值，等于1/fT），Tn 是闸门时间的标称值，通常为1秒，或1秒的10)^(±n）倍。
       分析测得值，就是分析测得值同实际值（真值）的差别，就是将测得值同实际值相比较。比较的方法之一是二者相除。实际值做除数，即做标准。
       计值公式(3.6)除以物理公式(3.5)，得测量方程：
             fm / f  = NrT/(NTn)                                                       （3.7）
       由测量方程，知测得值函数：
             fm = [NrT/(NTn)] f                                                        （3.8）
       注意，我们研究的是测量问题（可设想是在用几台仪器同时测量同一物理量），被测频率的客观值f是常量，测得值fm是变量。闸门时间标称值Tn是常量，闸门时间实际值T是变量。理论值N是常量；读数Nr是变量。
       （3.7）式是测量方程，（3.8）式是测得值函数。微分法分析误差，就是求测得值函数在常量点上的全微分。
       A 求微分
                dfm = [Nrf /(NTn)]dT+[Tf /(NTn)]dNr                            （3.9）
       B 误差元：变量相对于常量的偏差量
                Δfm = [Nrf /(NTn)] ΔT+[Tf /(NTn)] ΔNr                         （3.10）
       C 相对差
      （3.10）式除以（3.8）式
                δfm = ΔT / T+ΔNr / Nr                                                 （3.11）
       因闸门时间由内标（频率为fb）分频而来，有
                 T = K(1/fb)
                ΔT/T = - Δfb/fb                                                             (3.12)
       将（3.12）式代入（3.11）式，得
                δfm = - Δfb/fb +ΔNr / Nr  
                 δfm = - δfb + δNr                                                           (3.13)
      （3.13）式表明，测得值与频率计内标频率成反比，即与时基成正比，是正确的，这纠正了只按物理公式求微分的不当认识。
       δfb是频率计内晶振引入的误差项。其中包括：老化率、温度效应、晶振稳定度等。δNr包括分辨力，计数器不稳等引入的误差项。本节讲误差分析的基本方法，只讲主干部分，下续分析略。关于由误差元合成为误差范围，下章讲。
      （注： 本书符号说明：单独的δ，表示相对误差范围，恒正；δ后边有某量的符号，表示该量的误差元的相对值，可正可负。）
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《史氏测量计量学说》征求意见稿（4.1）

                                                                                                                                   史锦顺        

第3章 测量方程与误差分析（续1）

2 测量方程的一般形式
         测量方程就是把物理公式与计值公式联立起来，组成一个整体。
       建立测量方程的核心思想是区分量值的概念。物理公式中的量都是客观的量，准确的量，物理公式本身是超脱测量误差的，从物理公式本身难寻误差的踪迹。测量中用以计算的根据是物理公式，但所用的量，与物理公式中的量是有区别的，把这个区别标示出来，便是计值公式。常用的区分标志有两种，一种表示测量得出的值，可用m，r标示；另一种是认定的标准值或标称值，用o或n来表示。这样，量值分为三个档次。三个档次的量可以组成两对。第一对是物理公式的量和测量得到的量。物理公式的量是实际量，测量得到的量是认识量，实际量与认识量相比，实际量是基本的，这第一对量，实际量是常量，认识量是变量。第二对是物理公式中的量与计量中认定的标准值或标称值。第二对量中，标准值或标称值是常量，而物理公式中的量是变量。因为物理公式中的量是可变的，而标称值是不变的。
       把物理公式和计值公式联立起来，就得出测量方程。
       被测量Y由诸Xi决定，Y是Xi的函数，诸Xi是构成Y的来源量。
       在测量方程中，各量成对。被测量的测得值Ym与被测量Y是一对。被测量Y是客观存在，是常量，而被测量的测得值Ym是变量。决定Y的各来源量Xi，各有一个Xm或Xo与其对应。如Xi与Xim对应，则Xi是常量，Xim是变量；若Xj与Xjo对应，则Xj是变量，而Xjo是常量。
       设物理公式为：
              Y = f(X1,X2,……XN)                                                          (3.1)
       计值公式为：
               Ym= f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o)                                        （3.2）
式中斜杠“/”表示“或”。m表示测得值,o表示标称值。m/o表示或者是测得值m,或者是标称值o。例如X1m/o表示是X1m或者是X1o.
       联立（3.1）（3.2），二者相除，得：
              Ym/Y = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) / f(X1,X2,……XN)                (3.3)
       联立（3.1）（3.2），二者相减，得：
             Ym -Y = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) – f(X1,X2,……XN)               (3.4)
       (3.3)、(3.4)都是测量方程，依应用方便而选用。
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　　物理公式是符合科学的理论计算公式，因此物理公式中的量都是符合该量定义的量，“物理公式中的量都是客观的量，准确的量，物理公式本身是超脱测量误差的，从物理公式本身难寻误差的踪迹”，“物理公式中的量都是真值”，这是非常正确的，符合量的定义的量就是该量的真值。
　　但，这个“真值”是什么需要测量才能知道，实际测量活动中，是测量就必有误差，通过测量无法获得真正的真值，只能获得相对真的真值。如果将相对真值代入物理公式计算，计算得到被测量也必是相对真值，而不是真正的、符合定义的真值。所以在研究和讨论“真值”、“测得值”、“误差”、“误差范围”、“不确定度”时，我们千万不能将相对“真”的真值与符合真值定义的真正的真值相互混淆，不能用等号将它们相连，不能相互偷换概念。