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误差合成的新理论
——交叉系数与方根法
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史锦顺
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序言 误差合成的应用场合
误差，表示测得值与实际值的差距。
误差的概念，有三层意思：误差元、误差范围，或泛指二者。“分析误差”中的“误差”指误差元；“仪器误差”中的“误差”指误差范围；“误差理论”中的“误差”既包括误差元也包括误差范围。
误差元定义为测得值减真值。
通常说：误差等于测得值减真值，这里的“误差”是误差元。误差元，可正可负。
恒值的误差元，称系统误差；随机变化的误差元称为随机误差。系统误差与随机误差，同时存在，只是比重不同。当系统误差比重大时，系统误差可以单独表达。随机误差的大小、正负都随时变化，因此随机误差元不能单独表达。
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误差范围定义为误差元的绝对值的一定概率（大于99%）意义上的最大可能值。
随机误差是统计变量。随机误差的分散性表征量是标准偏差σ。随机误差范围是3σ（包含概率大于99%）。
误差范围这个表征量，贯通于研制、计量、应用测量三大场合。
误差范围是测量仪器的测得值函数的简化表达，是测得值区间、被测量真值区间的特征值。
测得值与误差范围构成测量结果。
误差范围是计量标准、测量仪器的性能水平的标志。
误差范围是测量技术、计量技术的能力水平的标志。
误差范围又称准确度、准确度等级、极限误差、最大允许误差等。
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误差合成是由误差元求误差范围，或由分项误差求总误差范围。
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误差分析与误差合成，主要应用于研制场合与间接测量场合。
研制测量仪器与计量标准，必须掌握误差理论，必须能正确分析误差、合成误差。
计量是检验与公证测量仪器的误差范围，靠标准、凭实测。通常的计量业务，执行规程，照章办理。计量工作的本质是测定误差量。要提高计量工作的水平，就要熟悉误差理论。掌握误差分析与误差合成的理论与方法，对计量工作者是十分重要的。
测量理论，是科学技术工作的基础知识。
直接测量，主要是根据任务要求，选用测量仪器。测量者在得到测得值的同时，是知道该直接测量的误差范围的，就是所用测量仪器的误差范围指标值。
间接测量，要根据所求量对各个直接测量的函数关系，分析函数的误差元，并合成误差范围。误差合成，是测量技术的基础知识与技能。
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1 误差合成的两种思路
经典误差理论的误差合成，随机误差自身用“均方根法”（对同一量的多次重复采样值，平方、平均、开方），随机误差间用“方和根法”（几个不同量，每个量平方、求和、开方），系统误差间用“绝对和法”（各量绝对值之和）。方法没能统一。
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GUM为代表的不确定度理论，统一采用“方和根法”，对随机误差的处理与经典误差理论相同，没有问题；但对系统误差的处理，出现严重问题。为实行“方和根法”，产生五项难题：（1）认知误差量的分布规律、（2）化系统误差为随机误差、（3）假设不相关、（4）范围与方差间的往返折算、（5）计算自由度。其中有的很难，如（1）（4）（5）；有的多数情况不对，如（3）；有的不可能，如（2）。
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本文在网上讨论的基础上，提出统一处理误差合成的“方根法”。这是关于误差合成方法的新理论。新理论的特点如下。
1）着眼于“范围”。进行各误差元到误差范围的合成；进行分项误差范围到总误差范围的合成。
2）体现误差量的两大特点：绝对性和上限性。
3）合成中，只需辨别误差的性质（随机误差还是系统误差），大系统误差还是小系统误差；不需辨别相关性；与分布无关。
4）公式可以推导。
5）操作简易。
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“方根法”体现误差量的“绝对性”与“上限性”两个特点，着眼于误差范围，统筹随机误差与系统误差的处理，把系统误差元与随机误差元都变成是误差范围的直接构成单元，用取“方根”的办法实现误差的绝对值化。为此，用或正或负的恒值β代表系统误差元；用三倍的随机误差元3ξi 代表随机误差对误差范围的贡献单元。这样，系统误差β与随机误差元3ξ对误差范围的贡献权重相同，都是1。于是，公式推导与合成处理，都方便；给出的处理办法，十分简洁。
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不确定度论的思路是着眼于“方差”，处理办法是将众多的系统误差化向随机误差。各系统误差、随机误差都按“方差”合成。此乃“众归一”。但系统误差多种多样，化向随机误差很难，甚至不可能。这就是不确定理论烦难乃至不成立的根源。
本文新理论的思路是着眼于“范围”，各系统误差、随机误差都按“范围”合成。此乃“一从众”。达到此目的的方法极其简单，就是对随机误差元乘以3。
新理论提出交叉系数的概念，指出合成方法区分的本质。公式的推导与应用，简单明确。应用方便。
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两种思路，导致处理方法一繁一简，难易分明。不确定度理论的烦难方法，基于不符合实际的臆想（用生产厂家不同、原理不同的多套仪器测量同一个量，系统误差有分布）；本文的方法是基于客观实际（用同一套测量仪器，重复测量中系统误差为恒值）的严格推导。是非曲直，昭然若揭。
不确定度的合成方法，五大难关，如陷阱，如枷锁，何其蒙人！
明白交叉系数的道理，五大难关一风吹，岂不快哉！
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2 随机误差元构成的误差范围
随机误差的处理，经典误差理论有成熟、完美的处理方法。
测量实践中，人们易于认识随机误差。对常量的重复测量中，测得值的随机变化就是随机误差。
随机误差元可大可小，可正可负。有四个特性：
1）单峰性：小误差概率大；大误差概率小；
2）对称性：数值相同的正负误差概率大致相等；
3）抵消性：求平均值时正负误差可以抵消或大部分抵消；
4）有界性：以3σ为半宽的区间，包含概率99.73%。
按统计理论，随机误差是正态分布。
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对随机误差，有如下定义与关系：
1）随机误差元等于测得值减测得值的期望值（当无系统误差时，测得值的期望值是真值）。随机误差元的期望值是零。随机误差元为：
ξi = Xi - EX （1）
2）标准误差定义为
σ = √(1/N)∑ξi
= √(1/N)∑(Xi-EX) （2）
3）贝塞尔公式用测得值的平均值代换（2）式中的期望值，得到：
σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2} （3）
4）随机误差范围
R = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
=√(1/N)∑(3ξi)^2 （4）
5）由公式（4），有：
R=3σ(ξ)= σ(3ξ) （5）
随机误差元的3倍值（3ξ），其统计意义上的方根值等于误差范围值。3ξ 对误差范围的权重为1。因此3ξ 在构成误差范围时与系统误差的权重相同。就是说，系统误差的权重为1，而随机误差元对误差范围的权重为1/3。
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3 单项系统误差元构成的误差范围
系统误差元用β表示。β是或正或负的恒值。
单个系统误差构成的误差范围
R =√(1/N)∑(βi)^2
= |β| （6）
单个系统误差对误差范围的贡献是该系统误差的绝对值。
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4 误差合成的理论基础
函数的改变量，等于函数对各个自变量偏微分的和。就是泰勒展开的一级近似。
f(x,y) = f(xo,yo)+ (?f/?x) (x-xo)+ (?f/?y) (y-yo) （7）
f(x,y) - f(xo,yo) =(?f/?x) Δx+ (?f/?y) Δy （8）
Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy （9）
公式（9）是偏差关系的普遍形式。对所研究的特定函数来说，?f/?x、?f/?y是常数。
偏差关系用于测量计量领域，x是测得值，xo是真值, Δx是测得值x的误差元；y是测得值，yo是真值，Δy是测得值y的误差元；f(x,y)是代表被测量的函数值， f(xo,yo) 是函数的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函数值的误差元。
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5 交叉系数的一般表达
设函数的误差由两项误差Δx、Δy引起。由此，函数的两项误差元为：
Δf(x) = (?f/?x) Δx
Δf(y) = (?f/?y) Δy
把分项误差作用的灵敏系数与该项误差归并，记为：
Δf(x) =ΔX
Δf(y) = ΔY
函数的误差元式（9）变为：
Δf=ΔX +ΔY （10）
对（10）式两边平方并求和、平均：
(1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔXi +ΔYi)^2
=(1/N)∑ΔXi^2 + 2(1/N)∑ΔXiΔYi+(1/N)∑ΔYi^2 （11）
（11）式右边的第一项为σ(X)^2；第三项为σ(Y)^2；第二项是交叉项，是我们研究的重点对象。交叉项为
2(1/N)∑ΔXiΔYi =2【(1/N)(∑ΔXiΔYi) / {√[(1/N)∑ΔXi^2]√[(1/N)∑ΔYi^2]}】×
{√[(1/N)∑ΔXi^2]√[(1/N)∑ΔYi^2]}
= 2J σ(X) σ(Y)] （12）
（12）式中的J为：
J =(1/N)(∑ΔXiΔYi ) / σ(X) σ(Y) （13）
称J为交叉系数。
（注：此前，J记为r，称为相关系数。这和统计理论的相关系数，物理意义有差别。为澄清已有的混淆，本文称J为交叉系数。）
当交叉系数J为零或很小时，合成公式为
σ(f) =√[σ(X)^2+ σ(Y)^2] （14）
（14）式是“方和根”合成公式。
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6 随机误差间合成的交叉系数
对随机误差的合成，ΔX是ξx, 代换为[X-X(平)]；ΔY是ξy，代换为[Y-Y(平)]，有：
J =[1/(N-1)][∑[Xi-X(平)][(Yj-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)] （15）
由于ξx、ξy是随机误差，可正可负，可大可小，有对称性与有界性，多次测量，是大量的，因此，随机误差间的合成的交叉系数为零（或可以忽略）。（15）式是当前不确定度论引用的统计理论的相关系数公式。
随机误差合成，（14）成立。即随机误差的合成公式是“方和根”：
σ(f) =√ [σ(x )^2+ σ(y )^2] （14.1）
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7 随机误差与系统误差合成的交叉系数
两个分项误差，一个是随机的，记为ξ，考虑到对误差范围的权重，取单元量为3ξ（ΔX）；一个是系统的（重复测量中不变），记为β（ΔY）。
代入公式（13），有
J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)] （16）
系统误差元是常数可以提出来，有
J =(1/N) (3β∑ξi) / [σ(X) σ(Y)] （17）
大量重复测量（例如N=20，N不得小于10）中，（17）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似为0，可以忽略。“方和根法”成立：
σ(f) =√[β^2+ (3σ)^2] （14.2）
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8 系统误差与系统误差合成的交叉因子
设（13）式中ΔX为系统误差βx ，ΔY为系统误差βy，有
√[(1/N)∑ΔXi^2]= |βx| （18）
√[(1/N)∑ΔYi^2]= |βy| （19）
则系统误差的交叉系数为
J =(1/N)(∑βxiβyi) / [|βx| |βy|]
=βxβy / [ |βx| |βy| ]
=±1 （20）
即有
|J|=1 （21）
当βx与βy同号时，系统误差的交叉系数J为+1；当βx与βy异号时，系统误差的交叉系数J为-1。
当系统误差的交叉系数为+1时，（11）式变为：
Δf ^2=|βx^2|+2|βx||βy| +|βy|^2
即有
| Δf | =|βx|+|βy| （22）
（22）式就是绝对值合成公式。
当系统误差的交叉因子为-1时，（22）式变为二量差的公式。因为通常只是知道系统误差之误差范围，又鉴于误差量“上限性”的特点，二量差的公式不能用。
测量仪器的性能指标，给出的都是误差范围。
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测量仪器的误差范围指标值由生产厂家给出，由计量部门公证，测量者按仪器指标应用。直接测量，测量仪器的指标，就可看作是测量的误差范围（只要符合仪器使用条件，环境等的影响已包含在仪器的指标中）。间接测量，要按间接测量的函数关系进行误差合成。测量仪器的误差范围指标值因以系统误差为主，要视其为系统误差值，按系统误差处理。
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9 关于合成方法的主张
误差合成，统一按“方根法”。对特定的误差种类，“方根法”分化为“均方根法”、“方和根法”、“绝对和法”、“混合法”。
通常，测量仪器以系统误差为主。不能无视系统误差的存在。考虑到系统误差、随机误差都是客观存在，提出如下主张：
1）随机误差序列，用“均方根法”，随机误差范围之间，用“方和根法”；
2）随机误差范围与系统误差范围之间，用“方和根法”；
3）有多项中小系统误差项，仅有一项大系统误差（或没有大系统误差），它们之间的交叉系数，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，这样，可以用“方和根法”。
4）直接测量仅有两三项系统误差，要用“绝对和法”（适用于研制中确定仪器指标）；
5）间接测量，仅有两三项测量仪器的误差范围，要用“绝对和法”；
6）有多项误差，在两项或三项大系统误差之间用“绝对和法”，其余的各种处理，用“方和根法”。总称谓是“混合法”。
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10 间接测量的误差合成例说
间接测量由若干直接测量构成。各直接测量的误差，都是间接测量的误差因素。还加一些综合性因素。
间接测量，要进行若干项分项误差的合成。
设函数误差由以下8项误差构成：
大系统误差项β(1大)、β(2大)
中小系统误差项β(3小)、β(4小)、β(5小)、β(6小)、
随机误差项ξ(7随)、ξ(8随)
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注：
分项系统误差的传递系数是函数对该自变量的偏微商。
分项随机误差的传递系数是函数对该自变量的偏微商的3倍（包含概率99%）。
本文中分项误差项的值，指单项误差与传递系数的乘积。
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函数误差元
Δf =(?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy……
Δf =β(1大)+β(2大)
+β(3小)+β(4小)+β(5小)+β(6小)
+3ξi(7随)+3ξi(8随)
求“函数误差元的平方”的统计平均
[(1/N)∑Δfi^2]
= (1/N)∑[β(1大)+β(2大)
+β(3小)+β(4小)+β(5小)+β(6小)
+3ξi(7随)+3ξi(8随)]^2
R^2 = (1/N)∑{(1大)^2+2J(大)β(1大)β(2大) +β(2大)^2
+β(3小)^2+β(4小)^2+β(5小)^2+β(6小)^2
+[3σ(7随)]^2+[3σ(8随)]^2+其他交叉项} （23）
大系统误差项的交叉系数J(大)等于+1或-1；因误差范围是误差元的最大可能值，故取+1。由此，大误差间取绝对和。其他交叉项的交叉因子，凡有随机误差项的，交叉因子为零。没有随机误差的，是系统误差之间的交叉系数，可以是+1，也可以是-1；由于交叉项的数量大，可认为正负项近似抵消，因而其他交叉项之和可略。
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合成误差范围公式
R =√ {[R(1大) +R(2大)]^2
+R(3小) ^2+ R(4小) ^2 +R(5小) ^2+ R(6小) ^2
+ [3σ(7随)]^2+[3σ(8随)]^2} （24）
二、三项大系统误差间取“绝对和”；此“绝对和”与所有其他系统误差、随机误差范围之间，取方和根。
由于测量仪器的误差范围，以系统误差为主，且因误差范围是误差元绝对值的一定概率（99%）意义上的最大可能值，因此某项直接测量的测量仪器误差范围指标值，视为间接测量的该项系统误差。
当分项误差仅有一项大误差，或有4项以上大误差时，考虑交叉项的可能抵消作用，公式（10）变成纯“方和根”。
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