一、不确定度
1. 不确定度
1）不确定度是指由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。
2） 不确定度与误差的关系
不确定度和误差是两个不同的概念，前者实在后者理论基础上发展起来的，它们都是由于测量过程的不完善性引起的。误差用于定性地描述理论和概念的场合，不确定的用于给出具体数值或进行定量运算分析的场合。
2.直接测量结果不确定度的估计
直接测量结果总不确定度表示为
1）A类不确定度
当进行有限次测量时，A类不确定度的表达式为
式中 是与测量次数 ，置信度 有关的量，可以从表1.2.1中查得。
在要求精度不高的情况下，当6≤n≤10时
当n不在上述范围内时或要求精度误差估计时，应查表得到相应的值。
2） B类不确定度
B类不确定度 分量的误差与不确定度的系统误差相对应。一般由仪器误差来代替。常用仪器的误差或误差限值由生产厂家或实验室给出。即
3） 总不确定度的合成
当测量次数n符合6≤n≤10条件时，简化为
当 ，或 对测量结果影响甚小，或只进行了一次测量， 可简单地用 表示。
3.间接测量结果不确定度的估计
设间接测量所用的数学表达式为
式中 为间接测量结果， 为直接测量结果，且它们相互独立。 的不确定度（分别为 ）必然影响间接测量结果，使 也有相应的不确定度。不确定度是微小量，相当于数学中的“增量”，所以间接测量结果不确定度的计算公式和数学中的全微分公式基本相同。不同之处在于不确定度 替代了dx，dy，dz，…以及不确定度用“方和根”合成的统计性质。即
间接测量结果的表示方法为
二、. 数据处理
1. 测量结果的有效数字
1） 有效数字的定义
测量结果的若干位准确数字和最后一位存疑数字的全体称为有效数字。有效数字位数的多少，反映了测量结果的准确度，位数越多，准确度越高。测量结果取几位有效数字是件严肃的事，不可任意取舍。有效数字与小数点的位置无关，单位换算时，有效数字的位数不应发生变化。还应注意，表示小数点位置的“0”不是有效数字，数字中间或数字后面的零是有效数字，不能任意增减。
2） 有效数字的表示
有效数字的末尾为估读数字，存在不确定性，当规定不确定度的有效数字只取一位时，测量结果最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。如V=(32.56±0.008)cm3中，测量值末位应于不确定度0.008的“8”对齐。
例1 2.34cm=0.0234m是正确的，但变为2.34cm=2340μm是错误的，应记为2.34×10-4μm。
例2 某人测得真空中的光速为299700km/s，不确定度为300km/s，若记为(299700±300)km/s是不正确的，应写为(2.997±0.003) ×10-5km/s。
3） 有效数字的运算规则
(1) 加减运算
设 ，各分量不确定度为 。先计算不确定度 ，计算过程中取两位，最后取一位，再计算 ，其中各分量 位数取到和不确定度所在位相同或比不确定度所在位低一位，最后用不确定度决定最后结果的有效数字。
若未标明 ，运算中以各分量中估计位最高的为准，其它各分量运算过程中保留到它下一位，最后对齐。例
显然以271为准，其余比它多保留一位
最后与271取齐，即348。
(2) 乘除运算
设 ，个分量不确定度为 。以有效数字最少的分量为准，其它各分量的有效数字取到比它多一位，计算 ，结果也暂多保留一位，在计算不确定度，由不确定度决定最后结果有效数字的为数。
在未标明不确定度 时，最后结果在最保险情况下可取到比上述最少位数的分量多一位，如计算
式中0.0065有效数字位数最少只有2位，运算中期于分量取3位，结果也可取三位，即
(3) 函数运算
设 。
在直接测量值标明不确定度时，先用微分方法写出该函数的不确定度公式，再将直接测量值不确定度代入公式，确定函数有效数字的位数。若直接测量值未标明不确定度，则在直接测量值的最后一位数上取1作为不确定度代入公式。如测得 ，求 。
由于直接测量值 未标明不确定度，应在25.4最后一位上取1作为不确定度，即 ，所以 。因此 小数点后应保留至第三位，即
在计算中，若有物理常数（如c，h等）和纯数学数字（如π，e， 等）参与运算，它们不影响运算结果中有效数字的位数。
(4) 数值舍入规则
一般遵循“四舍六入五凑偶”的规则。“五凑偶”是若拟舍数字部分最左一位的数字为5，当5后边为非0数字时，则进一，即保留数字末尾加1；当5后边无数字或全为0时，则保留数字末尾为奇数则进一，为偶数或0则舍弃。
2.数据处理
1） 列表法
在记录和处理数据时，将数据列成表格。有时也可以把运算的主要过程列出。列表的主要要求是简单明了，便于看出有关量之间的关系，便于数据处理。必须交代清楚表中各符号所表示的物理量意义，并写明单位，表中的数据要正确反映测量结果的有效数字，写明表的标题或加上必要的说明。
2） 作图法
应以横坐标为自变量，纵坐标为应变量，标出坐标轴的方向并真眼、注明所代表的物理量和单位，可靠数据在图中应为可靠，不可靠的数在图中应估计。连接不一定要通过所有的点，而要使所有的点分布在曲线的两侧。
3） 逐差法（适用于等间隔线性变化实验的测量）
例：测量弹簧的倔强系数k时，先测出弹簧的自然长度L0，然后依次在弹簧下端的小钩上加0.2mg，0.4mg，…，1.4mg的砝码，弹簧长度依次为L1，L2，…L7，对应于0.2mg砝码的弹簧相应的伸长为： ， ，…， 。 其平均伸长量为
由此可以看出，在多次测量过程中，只有两次测量值参与了运算，其它测量值并没有起到减小偶然误差的作用。因此，只要在测量列中适当采取变化，就能使各次测量值都参与运算。具体做法是：将测量列分成两组，一组为：L0，L1，L2，L3，另一组为L4，L5，L6，L7。取对应的差值（称为逐差）再取平均值
这时， 便是每增加0.8mg时弹簧的伸长，所有的测量值都参与了运算，达到增加测量次数，消除偶然误差的目的。
4） 回归法
回归法也是利用实验所测得的数据组，用数学形式模拟物理模型，通过测量的数据组变化趋势推测出函数形式。以下是用最小二乘法回归直线问题。
若一组数据存在线性关系，于是有如下形式：
如何确定A、B常数呢？
设有n组测量值（x1，y1）；（x2，y2）；…；（xn，yn），则
；
令 ；
则直线方程参数的最佳估计值为
；
最后，直线方程为
为了检验直线，引进了相关系数
值越接近1，x和y的线性关系越好。
值越接近0，x和y之间不存在线性关系。
选自《测量不确定度与测量误差》 |
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