两个西格玛——测量计量基本概念(11)...

                                 两个西格玛

                                                    ——测量计量基本概念(11)

                                                                                                                                           史锦顺

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测量得到N个数值，用贝塞尔公式算得的σ，是单值的西格玛。取N个数值的平均值，平均值的分散性用σ(平)表示，σ(平)=σ/√N 。√N是N平方根。σ(平)称为平均值的西格玛。

基础测量（常量测量），被测量是常量，仪器示值的变化，是仪器的随机误差。基础测量用平均值的西格玛，即用σ(平)，是正确的。

统计测量，被测量是变量，测量仪器的误差远小于被测量的变化，测量仪器示值的变化，体现的是被测量的变化。由于测量误差可略，测得值各个是实际值，变化是实际值的变化，必须如实表征，因此要用单值的分散性的表征量σ，而不能用平均值分散性的表征量σ(平)。

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（一）两个西格玛的不同规律

精密测量要进行多次测量。设测量次数为N，测得值为M(i)，取测得值的平均值为该测量的表征值。

1 求平均值

           M(平)=(1/N)∑M(i)

2 按贝塞尔公式求单值的西格玛

           σ =√{1/(N-1)∑[M(i)- M(平)]^2}

3 求平均值的西格玛

           σ(平)=σ/√N

4 σ与σ(平)的示意图。图中上线的点为单值的西格玛，下线的点是平均值的西格玛。横坐标是测量次数N，纵坐标是西格玛。

       5 σ的特点：随着N的增大，趋近一个常数。

6 σ(平)的特点：随着N的增大，趋近于零。

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（二）量值分散性必须用单值的西格玛来表征

被测量本身量值的分散性，必须用单值的西格玛来表征。

当N很大时，σ随N的增大而趋于一个常数。它是被测量分散性的特征。

平均值的西格玛（下线），与认识手段有关。N可随意选取，因此平均值的西格玛不是客观的量。当N很大时，平均值的西格玛随N的增大而趋于零，这个趋于零，对任何随机量都是一样的，因此平均值的西格玛，是随机变量的群体特性（与常量不同），而不是随机变量的个体特性。

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（三）应用情况

在经典测量中，被测量是常量。测得值的分散性是测量仪器的随机误差引起的，是测量仪器的问题，是手段问题。手段可以改善。多次测量，取平均值的西格玛。除以根号N,表明增加测量次数，减小了随机误差。这是正确的作法。

统计测量中，测量仪器的误差远远小于被测量的变化，测量仪器误差可以忽略，测得值各个都是被测量的实际值。实际值的分散性必须用单值的西格玛来表征。被测量实际值分散性的大小，与测量次数无关。统计测量必须用单值的西格玛。

表征频率稳定度的阿仑方差，就是单值的西格玛。

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不确定度论的A类评定，都是取平均值的西格玛。这对常量测量来说，与B类评定的“说明书指标”中的随机误差项重复（单用A类评定，没有偏离性，不行）；而对变量测量来说，用平均值的西格玛是不对的。

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（四）要点说明

自从本人讲述两个西格玛的区分后，有些人以为：测量一次，用单值的西格玛。测量N次，取平均值，要用平均值的西格玛。

这种说法在统计测量中不对，在计量中也不对。

这里再次说明，只要是统计测量（变量测量），即使用平均值当表征量，也要用单值的西格玛，即不能除以根号N。计量是统计测量，也要用单值的西格玛。

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非常有学问，看后觉得还有点搞不懂，是不是常量（如量块）和波动不大（如电压）就为常量测量，变化大的（如时间）就为统计测量。同样用不同准确度等级的电子天平（分辨力差别很大）去称量同一物体（被测量），怎样区分常量测量和统计测量呢？

回复 3# 星空漫步

先生注意到变量测量同常量测量的区别，这是重要的。

有一种情况，就是测量仪器的西格玛与被测量的西格玛大致差不多，这种情况没法处理，必须回避。解决的办法是选择测量仪器。选测量仪器的西格玛比被测量的西格玛小到1/3以下，测量仪器的影响就可以忽略了。被测量变化与仪器随机误差都是随机变量，均方合成，测量仪器的影响仅1/18（1加1/9后开方）。当前，时频界这样处理问题已成常规。每个研制者、计量者、测量者都这样处理。

我所称的“统计测量”就是指快变量的情况。一个源，而输出的量值在变。这在电学领域有电压、电流、功率等量；在无线电电子学中、放射性中都有多种变量。温度测量计量也基本上是变量，只是处理得不好，以致有GUM测温度的混沌帐（分不清温度源与温度计）。在时频界，因为测量仪器与标准的等级差别大，常量测量与统计测量不区分就没法工作。因此，时频界是处理得很好的，也是抵制不确定度论的。时频界得过诺贝尔奖的就有五人。又有专用的阿仑方差，不确定度论插不进手。特别是，不管测量100次（秒以下稳定度）、30次（小时稳定度）都是用单值的西格玛，而不用平均值的西格玛。即使取平均值当量值的表征量，也是如此。因为单值的西格玛才是变量分散性的特性，即特征量。平均值的西格玛的数学期望值是零，没法当变量的表征量。

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我从一个初学者的角度来谈谈我的想法，我今年准备考一级，刚刚学了教材，请大家指教。用贝塞尔公式算出的实验标准偏差S(X),也就是大家说的西格玛，表示了测量数据的离散性，用这种方法获得的实验标准偏差其实是有限次独立重复测量的得到的标准偏差的估计值，它可以用来评定测量的重复性，也可以用来评定测量的复现性。
    先说测量的重复性，根据《JJF1001通用计量术语及定义》，是指在相同条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。测量结果的重复性是测量不确定度的一个分量，它是获得测量结果时，各种随机影响因素的综合反映，包括了所用的计量标准、配套仪器、环境条件等因素以及实际被测量的随机变化。由于被测对象也会对测量结果的分散性有影响，特别是测量对象是非实物量具的测量仪器时（就像史老说的时间频率测量）。因此测量结果的分散性比计量标准本身所引入的分散性稍大。评定重复性时，通常N取10.在测量结果的不确定度评定中，当测量结果由单次测量得到时，S(X)直接就是由重复性引入的标准不确定度分量。当测量结果由N次重复测量的平均值得到时，重复性引入的标准不确定度分量就是S(X)/√N。
    再来说测量复现性，测量复现性是指在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。改变了的测量条件，可以是：测量原理、测量方法、观测者、测量仪器、计量标准、测量地点、环境及使用条件、测量时间。改变的可以是这些条件中的中的一个或多个。但是测量重复性，是指不改变测量条件，同一被测量的测量结果之间是一致性。
    对时间频率测量来说，我听了史老的分析，我也觉得用算术平均值表示测量结果时，测量不确定度直接用S(X)比用S(X)/√N要合理，直观从大小来看，S(X)比较大，用s（x)/√n,数值会趋向0.

回复 12# 史锦顺


    史老，你说秤来秤东西，那个东西质量不变，其实也不对，我们公司的电子分析天平秤M1级砝码的时候，能达到E-7克，因为电子天平的精度很高也会跳动的。但是用普通电子秤就不会跳动了，所以你两个测量概念的提出好像有点问题。至少你举的例子，不足以说明你的这个概念成立。

　　除了常数以外，客观现实中的被测量，“变”是永恒的话题，因此变与不变只不过是个变化量大小的问题。任何一个实际量都会随着时空的不断变化而变化着，一个砝码也是一样。
　　当测量方案（包括测量设备）的可靠性（不确定度）远大于被测量随时空的变化而产生变化量时，被测量的变化量将无法察觉，被测量就是个“常量”。但如果不断地提高检测方案（包括测量设备）的可靠性，检测方案的不确定度将接近甚至远小于被测量随时空变化而产生的变化量时，被测量的变化量将被凸显出来，被测量将成为“变量”，此时用常规的“常量测量”方法测量将是困难的，而不得不使用所谓的“统计测量”方法。
　　因此，我认为史老师提出的“常量测量”和“统计测量”如果作为测量方法分类的一种形式还是有道理的，但把被测量分为不变的“常量”和变化的“统计量”却并无必要。因为任何“量”都是随时空不断变化而变化着的量，“常量”和“统计量”之间并不存在截然的界限，识别被测量是“常量”还是“统计量”，完全取决于测量方案的不确定度与被测量随时空变化而变化的那个变化量之间的差距孰大孰小，因此这个问题说到底还是测量方案的正确选择问题。

回复 6# 规矩湾锦苑

               答规矩湾锦苑问

                                                                                                 史锦顺

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规矩湾锦苑的帖子，语气平和。尽管有些不同意见，但主要内容是对问题不甚理解，想问问。我试着答复如下。有不同看法，再讨论。

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【规矩湾锦苑问】

（一）关于单值的西格玛与单次测量的西格玛

在测量领域里的，量的“值”自然是通过测量而获得，史老师所讲的“单值”如果不是通过单次测量的测量结果，那么就请老师讲一讲“单值”的来历。
      【史答】

测量计量工作者，要养成习惯，不进行多次测量，就不出数据。多测几次，可以减小测量仪器的随机误差，可以避免偶然性错误。而更重要的是，凡需要给出统计表征量西格玛的地方，要进行N次测量，我认为N不能小于10。我搞电子计量时，都是取N=10。1975年后搞频率测量与计量，统计表征量用阿仑方差。规定N取100，只能照办。好在都是测量仪器自动处理。

你让我讲“单值的来历”，这太简单了。来了100个，是一个一个接着来的，总共100个单值。N个数，每个都是单值，还问什么来历。你的误解是：只有测一次，那个值才是单值。不，测量得到的值，可能很多，而每个都是单值。

用贝塞尔公式计算得到的西格玛，就是单值的西格玛！计算靠N个值，但是，σ 是单值的西格玛。

σ(平)=σ/√N 是平均值的西格玛。

  对变量A进行N次测量。用平均值表示A。而变量A的分散性是σ。σ的数学期望是常数。
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【规矩湾锦苑问】

（二）关于统计测量与常量测量

所谓“快变量测量”，快慢本来就是个相对概念。时间段压缩，再慢也是快的；时间段拉伸，再快也是慢的，因此统计测量与常量测量本绝对的分界线。说到底还是检测环境条件的约束，对检测时空的约束。将时间限制在足够短的时间段内测量，再快的“快变量”都可视为“常量”。所以本人赞同6楼lyx老师的观点：不大赞同史先生专立一类“统计测量”的观点，认为这应该就是“测量”与“统计”这两项各有相应领域归属的技术的组合应用，从“测量”技术的角度而言，并没有大不同。　　对于“频率测量”本人确实不懂，我相信论坛中懂频率测量的量友并不是大多数，相对而言从事或见过长度测量和力学测量的人可能更多些。为了让大家明白你的“统计测量”原理，能不能请史老师举出长度测量或力学测量的例子呢？
    【史答】

先生说得对，快慢是相对的。但快慢的程度，是十分重要的。

我所指的快慢，是相对于测量一回的时间而言的。取一个数据是一次测量，设时间为τ（时频界称采样时间）。测量N次，取平均值，算测量一回。所用时间大致是Nτ, 在Nτ时段内有可发现的变化的是快变量，否则是慢变量。慢变量测量可按常量测量处理。

例如，频率计量有一项是测量晶振的日老化率（规定测量7周天，每天测量两回，没回测三次，τ=10秒）在一回测量的时段（30秒）内的变化可略（示值的变化是测量仪器的随机误差），被测量视为常量，按常量测量处理。

测量频率源（信号源、晶振、原子频标）的频率的短稳，采样时间为τ=1ms；τ=10ms；τ=0.1s；τ=1s；τ=10s。每回测量100次，每个频率值不同，这就是快变量。快变量测量是统计测量，测量仪器的随机误差范围必须小于被测量变化范围的1/3。示值的变化表现的是被测量的变化，测量才有效。

以上不是老史的理论设计，而是当前我国与国际的通常做法。因此，两类测量是客观存在。由于两类测量的处理方式的巨大差异（1 如何选测量仪器；2 能否除以根号N；3 能否舍弃离群数据；4 计量活动中测量的性质与处理），两类测量的划分在许多领域是必要的。

至于力学与长度计量，我不懂，不敢瞎说。随着测量仪器的进步，也必将出现统计测量。用激光比长仪在普通场所测量一米长的铝棒，就是统计测量。铝的线胀系数是23E-6，用铝材制造的恒温箱，其支架的温度随箱内温度变化。设电子恒温控制的温箱，温度的随机变化范围是0.5℃，则激光比长仪测得的一米长的铝棒横梁的长度，其随机变化范围大致是12E-6。激光比长仪的误差范围是0.5E-6可以忽略。这就是统计测量。铝横梁长度的随机变化，要用单值的西格玛表征。

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【规矩湾锦苑问】

（三）关于统计测量必须用单值的西格玛

史老师已经认可“如果是基础测量（被测量是常量），用平均值的西格玛σ/√N是对的”，在这点上大家达到了统一。　　关于“统计测量”，史老师能不能举例说明“必须”用的那个“单值的西格玛”是如何得到的呢？为了简化描述，例如假设统计测量的次数为10次，这个“小”统计测量的“单值的西格玛”如何计算？如果做10组这样的统计测量，共得100个测得值，这个“大”统计测量的“单值的西格玛”又如何计算？

【史答】

1 基础测量，用平均值的西格玛是必须的。我从来没反对过。说我“认可”，是极易引起误解的话，似乎我曾反对过，现在“认可”了。不，没出现过这种情况。

2 关于统计测量，大数N、小数N

我在频率的测量计量中，出过大量的单值西格玛数据。

办法是：100个频率差值为一次测量，计算单值的σ(τ)，τ是一个频率值的采样时间。

以上是规程要求。

我的特殊作法（宇航设备检验）：将以上测量进行10次，称一回测量。每回测量得10个西格玛。取10个西格玛的平均值做为单值分散性（稳定性）测量结果。

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回复 2# 规矩湾锦苑

（一）单值的西格玛，不是单次测量的西格玛

请你注意我的用词，是“单值的西格玛”，而你的基本意思是“单次测量的西格玛”。

在我看来，我们讨论两个西格玛，不要扯进单次测量的问题。我们讨论的是精密测量问题，是排除“一次测量”的。因为“一次测量”，只在低档次的、低精度的、粗略的测量行为中出现，在精密测量中是不允许的。说单次测量用“单值西格玛”，实际是混淆视听；只测量一次的场合，十分粗糙，没必要讲究西格玛。在GUM中，就不谈单次测量的西格玛。JJF起草的中国专家，讲了评定的测量次数与应用的测量次数，是脱离实际的。人们都是评了就用，很难想象评定与应用分两种场合。如果分两种场合，评定者不会给出评定时的测量次数，让用户怎么计算？在统计测量的情况下，一次测量是无效测量。量值在变，只测一次不行！

在多次测量中（不是一次测量），存在两个西格玛：“单值的西格玛”（用贝塞尔计算的）和“平均值的西格玛”。常量测量，可以用平均值的西格玛。统计测量，测得值各个是实际值（误差可略，实际值就是真值），量值的分散性必须用单值的分散性表征。“暂时不懂，你慢慢体会去！”（中国计量科学研究院研究员陈成仁网上讲课用语。）

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（二）统计测量的特点

【规矩湾锦苑】

测量结果的标准差要不要除以√N，和“常量测量”与“统计测量”毫无瓜葛，只看给出的测量结果通过多少次测量取平均值，只与最终给出测量结果的测量次数N有关……

【史评】这是错话。

一个人见闻有限，缺少某些方面的知识，本是常事，不会有人说什么，但不知道的事情，不要乱说。先生要好好体会体会“统计测量（快变量测量）”这一客观存在。

我讲一下频率测量计量的实际情况。

频率测量的大多数场合是统计测量。频率源的稳定性用阿仑方差来表达。测量100次，而取单值的西格玛。频率值当然取平均值。因为这是变量测量，测量N次，而西格玛不准除以根号N.

如果按不确定度的A类评定。测量100次，就可以除以根号100，那就虚夸指标10倍。宣贯不确定度论的大员们，在许多场合说一不二。就是不敢碰频率测量计量这个领域的事。因为频率界有马凤鸣为主要起草人的《JJF1180-2007》，该规范用定量的准确度，用阿仑方差，就是不用“不确定度”。老史反对不确定度论，实践基础是频率测量计量，法规根据就是《JJF1180-2007》!

不过，我要替规矩湾先生说句话。弄不懂有“统计测量”这一说，世界上大有人在。那些提出不确定度论的美国人，就不懂“统计测量”。最明显的例子是GUM（4.4.3）上的温度测量。就是一笔混沌帐。温度测量的结果，那么大的分散性，竟说不清是温度计的，还是热源的，简直是胡闹！

时代在前进，科学在发展，像不确定度论这样的蒙混，没前途！

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（三）统计测量必须用单值的西格玛

【规矩湾锦苑】

测量N次取平均值，就要用平均值的西格玛σ/√N。

【史评】

  测量N次，取平均值，是必然的。

1 如果是基础测量（被测量是常量），“用平均值的西格玛σ/√N”是对的。

2 如果是统计测量（被测量是快变化量），量值的分散性，必须用单值的西格玛，不许除以根号N。在时频界，这一点早已不是哪个人的学术主张，而是计量规范的规定，因为必须用阿仑方差，而阿仑偏差就是单值的西格玛。老史不过是把这一点挑明。频率界的作法是对的。其他各界，只要达到一定水平，也必然如此。因为道理是相通的。孵鸡的温箱的温度稳定性，一定用统计测量，表征量用单值的西格玛，如果按常量测量处理，按平均值的西格玛要求，种蛋都成“坏蛋”了！

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好帖子要顶起来

回复 11# moonkai

      两类测量的概念，是我提出来的，并没有被广泛认可，更没有得到国家计量主管部门的采纳，现在是学术讨论，仅仅是提出个人看法。我认为：两类测量是客观存在。用秤量物体的重量就是常量测量；因为被测量不变，是常数。用准确度千分之一的数字电压表去测量市电电压，就是统计测量，因为数字电压表的读数不停地变化。检定测量仪器，此时被检仪器是对象，而标准是手段，手段（标准）的变化远远小于被检仪器的变化，因此是统计测量。统计测量不论测量次数N是多少，都不能除以根号N.如果除以根号N,就虚夸了被检仪器的指标。
      至于当前进行的检定装置的重复性考核，用被检仪器来进行，是不合理的。国家质检总局已两次通知，简化重复性考核与不确定度评定，共26项。有网友问质检总局，“简化了，是否可以不进行”，质检总局回答说：“可以”。以上情况，供你参考。