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标题: 误差合成的新理论——交叉系数决定合成法（1） [打印本页]

作者: esky520 时间: 2016-9-18 08:25
标题: 误差合成的新理论——交叉系数决定合成法（1）
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                                 误差合成的新理论
                                             ——交叉系数决定合成法（1）
                                                      （2016年7月学术报告稿）
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                                                                                                                           史锦顺
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引言
   误差，表示测得值与实际值的差距。误差的概念，有三层意思：误差元、误差范围，或泛指二者。
   误差元定义为测得值减真值。恒值的误差元，称为系统误差；随机变化的误差元，称为随机误差。
   误差范围定义为误差元的绝对值的一定概率（大于99%）意义上的最大可能值。
   测得值与误差范围构成测量结果。
   误差范围又称为准确度，是测量仪器、计量标准以及测量结果水平的表征量。
   误差合成是由误差元求误差范围。

1 误差合成的原则、途径与方法
   误差量的特点是其绝对性与上限性。误差合成的原则是保险性与合理性。保险第一，合理第二；在保险的基础上追求合理。
   保险的含义是确定的误差范围值要包括误差元的最大可能值。合理的含义是确定的误差范围值要尽可能接近实际值，就是要利用误差量之间存在的抵消性。
   误差量要绝对化，方式有两种。
   第一种方式是直接对误差元取绝对值。经典误差理论对系统误差直接取绝对值，合成取绝对和，保险，但偏于保守。而随机误差可正可负，有相互抵消作用，直接取绝对值不能体现随机误差的特点。第一种方式不能贯通。
   第二种方式是取“方根”。初等数学规定：开平方根取正值。本文提出用“方根法”，可以贯通于随机误差与系统误差。注意保险性与合理性，得出各种使用条件下的误差合成公式。取“方根”，按交叉系数近于1还是近于零来确定公式，可推导出“绝对和”与“方和根”两种方法。交叉系数的取值，体现误差量间的能否抵消的相互关系。

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   误差合成的途径也有两种。第一种途径是“方差合成”，其基本条件是随机性。不确定度理论合成的途径是方差合成，其方针是统一采用“方和根法”，对随机误差的处理与经典误差理论相同，没有问题；但对系统误差的处理，出现严重问题。为实行“方和根法”，产生五项难题：1）认知误差量的分布规律、2）化系统误差为随机误差、3）假设不相关、4）范围与方差间的往返折算、5）计算自由度。其中1）很难；2）不可能；3）对系统误差错误；4）与 5）都以 1）为基础，也很难。仔细研究表明：不确定度论认定的“分布”，误把“台间统计”，当成“时域统计”，统计方式错误；而假设“不相关”，对系统误差，是根本性的错误（本文证明：系统误差的交叉系数绝对值是1）。这样，所谓的不确定度合成方式，是走不通的死路。不确定度论的核心概念——合成不确定度，不成立；不确定度论，腰折了。
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   第二种途径是“范围合成”。本文着眼于范围，贯通了两类误差合成的各种情况。要点是统筹随机误差与系统误差的处理，把随机误差元变成是误差范围的直接构成单元。为此，用或正或负的恒值β代表系统误差元；用三倍的随机误差元3ξi 代表随机误差对误差范围的贡献单元。这样，系统误差β与随机误差元3ξ对误差范围的贡献权重相同。于是，公式推导与合成处理，都简洁方便。

   误差合成新理论的要点与特点如下：
   1）体现误差量的两大特点：绝对性和上限性。
   2）通过取方根，实现误差量的绝对值化；可以贯通于随机误差和各种系统误差。
   3）着眼于“范围”。进行各误差元到误差范围的合成；进行分项误差到总误差范围的合成。
   4）由交叉系数决定合成法的选取。避开有歧义的相关系数概念。
   5）合成中，只需辨别误差的性质（随机误差还是系统误差），大系统误差还是小系统误差。不需辨别相关性。与分布无关。
   6）依误差性质、项数的不同，把交叉系数典型化为0或1，由此得到误差合成的具体方法。
   误差合成方法口诀：两三项大系统误差，绝对值相加；再与其他项合成，一律方和根。
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（未完待续）

作者: gxf3266364 时间: 2016-9-18 09:26
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                                 误差合成的新理论
                                          ——交叉系数决定合成法（3）
                                                         （2016年7月学术报告稿）
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                                                                                                                           史锦顺
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4 误差合成的理论基础
   直接测量，由物理机制确定测量方程，给出测得值函数。间接测量的测得值是各直接测量测得值的函数。函数的改变量，等于函数对各个自变量偏微分的和。就是泰勒展开的一级近似。
               f(x,y) = f(xo,yo)+(?f/?x)(x-xo)+(?f/?y)(y-yo)                         （7）
               f(x,y) - f(xo,yo) = (?f/?x)Δx+ (?f/?y)Δy                                  （8）
               Δf = (?f/?x)Δx + (?f/?y)Δy                                                 （9）
   公式（9）是偏差关系的普遍形式。对所研究的特定函数来说，?f/?x、?f/?y是常数。
   偏差关系用于测量计量领域，x是测得值，xo是真值, Δx是测得值x的误差元；y是测得值，yo是真值，Δy是测得值y的误差元；f(x,y)是间接测量被测量的函数值，f(xo,yo) 是函数的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函数值的误差元。

5 交叉系数的一般表达
   设函数的误差由两项误差Δx、Δy引起。把分项误差作用的灵敏系数与该项误差归并，记为：
               (?f/?x)Δx = ΔX
               (?f/?y)Δy = ΔY
   函数的误差元式（9）变为：
               Δf=ΔX+ΔY                                                                         （10）
   误差范围要求绝对化与最大化。绝对化的办法是取方根，最大化要求推导过程中取最大值。
   对（10）式两边平方并求统计平均值：
               (1/N)∑Δfi2 =(1/N)∑(ΔXi +ΔYi)2
                              =(1/N)∑ΔXi2 + 2(1/N)∑ΔXiΔYi+(1/N)∑ΔYi2
               RΔf2 =RΔX2 +2(1/N)∑ΔXiΔYi+RΔY2                                              (11）
   （11）式右侧的第一项为ΔX范围的平方RΔX2 ；第三项为ΔY范围的平方RΔY 2 ；第二项是交叉项，是我们研究的重点对象。

   交叉项为
               2(1/N)∑ΔXiΔYi
                        =2 [(1/N)(∑ΔXiΔYi)/(RΔXRΔY)] ×(RΔXRΔY)
                        = 2 J RΔXRΔY                                                                （12）
   （12）式中的J为：
               J =(1/N)(∑ΔXiΔYi) / (RΔXRΔY)                                                 （13）
   称J 为交叉系数。
   当交叉系数为0时误差范围的合成公式变为“方和根”：
               RΔf=√(RΔX2+RΔY2)                                                                   (14)
   当交叉系数为+1时误差范围的合成公式变为“绝对和”：
            RΔf=|ΔX| +|ΔY| =RΔX +RΔY                                                          （15）

作者: spiegesq 时间: 2016-9-18 09:30
史老师辛苦了，读您的文章对我来说还是有些费劲，有些词百度都百度不到，所以不敢妄称理解。有几个想请教一下：
1：恒值误差元称为系统误差，说明系统误差不是指一个范围对吧。这个误差元如何测量得到呢？如果按照传统的系统误差的理论，系统误差是一个值（保持不变），也是一个范围（按预定方式变化）。系统误差的值也是一个估计值。你的（2）的3中只是把您认为的系统误差是恒定的描述了一遍，和老的系统误差比较，少了预定方式变化的这个，是否您认为这个也是属于随机误差？
2：看了您老以往的文章，我觉得以前您说的很对，其实在条件保持不变的时候，只有非常高精度的测量才存在会变化的系统误差（绝对会测不准部分的测量），一般碰不到。这篇文章是否不予涉及？抑或我理解错误了？
3：“台间统计”是指不同设备测量结果的统计，“时域统计”是指同一设备不同时间的测量结果统计，这样理解对么？
4：同样是元，因为系统误差恒定，是定值，而随机误差则是存在分布的，是一个区间，请问我这样理解对么？
5：我觉得史老师的系统误差更像是“固有误差”。不考虑参考条件以外的条件了……
非常感谢。

作者: 快乐.每一天 时间: 2016-9-18 09:36
【恒值的误差元，称为系统误差；】？……“系统”误差的‘误差元’ 不一定是‘恒值’ ，只是其前、后取值有“关联”——包括“在一定范围内近似不变” ；【误差合成是由误差元求误差范围。】？……所谓“误差合成”，通常是指由各误差“分量”的“范围”求误差“合成量”的“范围”。或者说，由各“输入”误差的“范围”求“输出”误差的“范围”。

作者: 光头人1 时间: 2016-9-18 09:51
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                                    答solarup先生问
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                                                                              史锦顺
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【问】
   1：恒值误差元称为系统误差，说明系统误差不是指一个范围对吧。这个误差元如何测量得到呢？如果按照传统的系统误差的理论，系统误差是一个值（保持不变），也是一个范围（按预定方式变化）。系统误差的值也是一个估计值。你的（2）的3中只是把您认为的系统误差是恒定的描述了一遍，和老的系统误差比较，少了预定方式变化的这个，是否您认为这个也是属于随机误差？
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【答】
   误差的概念是个泛指的概念。在不同的语言环境下，有三种含义：误差元、误差范围，或泛指二者。
   误差元定义为测得值减真值，是可正可负的量。
   误差范围定义为误差元绝对值的一定概率（99%）意义上最大可能值。
   任何误差元，取绝对值并取最大值之后，就是误差范围。
   这里的“范围”，是有中心点的区间的半宽，是取值范围，不仅仅是“变化范围”。
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   关于误差的分类，通常的提法是：随机变化的误差称随机误差，恒值或有慢变化的（非随机变化）的误差称为系统误差。
   实际上，系统误差的慢变化，是很小的。可以按“长期稳定度”单独计算。于是，对研究与应用，就可以简化误差类别，那就是主文的说法：“恒值的误差称为系统误差”，“随机变化的误差称为随机误差”。抓住这主要的两项，问题就好处理了。对系统误差的变化部分，我的处理方式是单独处理，但它不是随机误差，不能当成随机误差。
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   系统误差元记为β，它的绝对值一定（恒值），而符号可正可负；按误差范围的定义，将β取绝对值，而最大可能值就是其绝对值。于是，系统误差β的误差范围就等于|β|。
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   如何求系统误差？在仪器研制、生产的场合，在计量场合，都必然有计量标准。够格的计量标准的误差范围可以忽略。于是，可以用计量标准的量值当作真值。测得值的平均值减标准的标称值，就是仪器的系统误差的测得值。
   不确定度论的基本立足点是：真值不可知、误差不可求。这是错误的观点，是误导。
   计量的存在，就是用标准的标称值代表真值。计量的基本业务，就是测得系统误差（测量随机误差很方便）。否定真值，等于否定标准；否定系统误差可求，等于从根本上否定计量。不确定度论的错误说教，是对计量科学与计量事业的背叛。
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   在应用测量的场合，因为没有计量标准，测量者无法确定系统误差值。
   任何测量仪器都有性能指标。测量者根据测量任务的需要，来选用测量仪器。测量仪器的误差范围指标，包括两部分：系统误差和随机误差。而随机误差容易认识。测得值的变化，就是随机误差。可以求得随机误差范围3σ.
   直接测量，就以测量仪器的指标值当测量的误差范围。
   间接测量，要根据测得值函数，求误差元的关系，再合成为误差范围。一个重要方法是用各分项仪器的误差范围值，当作系统误差来合成。第一，仪器的误差范围以系统误差为主；第二，这是按不利情况处理，保险。第三，方便、简洁、够用。
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【问】
   2：看了您老以往的文章，我觉得以前您说的很对，其实在条件保持不变的时候，只有非常高精度的测量才存在会变化的系统误差（绝对会测不准部分的测量），一般碰不到。这篇文章是否不予涉及？抑或我理解错误了？
   3：“台间统计”是指不同设备测量结果的统计，“时域统计”是指同一设备不同时间的测量结果统计，这样理解对么？
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【答】
   理解正确。
   对两种统计方式的理解，十分重要。不确定度论，按“台间统计”，是个原则性的根本性错误。
   不确定度论的核心内容：认知误差分布，求合成不确定度，再求扩展不确定度，其根本思路是“台间统计”；而同时用二十台仪器测量一个量的操作，是脱离人间测量计量实际的天马行空式的空想，这就注定了不确定度论的伪科学本质。
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作者: cy4080 时间: 2016-9-18 09:55
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                                误差合成的新理论
                                              ——交叉系数决定合成法（5）
                                                         （2016年7月学术报告稿）
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                                                                                                            史锦顺
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8 系统误差与系统误差合成的交叉系数
   设（13）式中ΔX为系统误差βx ，ΔY为系统误差βy，有
               RΔX=√[(1/N)∑ΔXi2]= |βx|                                              （19）
               RΔY=√[(1/N)∑ΔYi2]= |βy|                                              （20）
   则系统误差的交叉系数为
               J =(1/N)(∑βxiβyi) / [|βx| |βy|]
                  =βxβy / [|βx||βy|]
                  =±1                                                                         （21）
   即有
               |J|=1                                                                            （22）
   当βx与βy同号时，系统误差的交叉系数J为+1；当βx与βy异号时，系统误差的交叉系数J为-1。
   当系统误差的交叉系数为+1时，（11）式变为：
               RΔf2 =|βx2|+2|βx||βy|+|βy|2 =(|βx|+|βy|)2
即有
               RΔf = |βx|+|βy|                                                             （23）
   （23）式就是绝对值合成公式。简称“绝对和” 。
   当系统误差的交叉因子为-1时，（23）式变为二量差的公式。因为通常只是知道系统误差之误差范围，又鉴于误差量“上限性”的特点，误差范围要求取最大可能值，二量差的公式不能用。
   测量仪器的误差范围指标值因以系统误差为主，要视其为系统误差值，按系统误差处理（按不利情况处理）。
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9 关于合成方法的主张
   通常，测量仪器以系统误差为主。考虑到系统误差、随机误差都是客观存在，提出如下主张：
   1）随机误差范围之间，用“方和根法”。
   2）随机误差范围与系统误差范围之间，用“方和根法”。
   3）有多项中小系统误差项，仅有一项大系统误差（或没有大系统误差），它们之间的交叉系数，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，这样，可以用“方和根法”。
   4）直接测量仅有两三项系统误差，要用“绝对和法”（适用于研制中确定仪器指标）。
   5）间接测量，有两三项仪器的误差范围，要用“绝对和法”。
   6）有多项误差，在两项或三项大系统误差之间用“绝对和法”，其余的各种处理，用“方和根法”。总称谓是“混合法”。
   误差合成概要：在两项（或三项）大系统误差间取“绝对和”，此和值再与其他各项一起取“方和根”。
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作者: 流氓插件 时间: 2016-9-18 10:04
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                                 从贝塞尔公式到皮尔逊公式
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                                                                                             史锦顺
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1 贝赛尔公式的推导
   某物理量X测量N次，测得值为Xi，i从1到N。平均值为：
            X平=（1/N）∑Xi                                                             （1）
   经典测量理论认为，物理量有唯一的真值。测量仪器不可避免地存在系统误差与随机误差，多次测量取平均值，可以减小随机误差。平均值的极限称期望值。记期望值为E
            E= lim(M→∞)X平                                                          （2）
   方差为：
            DX= lim(M→∞)(1/N)∑(Xi-E)2                                           （3）
   方差是取极限的过程，实用不方便，为此定义标准方差为：
            σ2=(1/N)∑(Xi-E)2                                                          （4）
   可见，标准方差是方差的无偏估计。（A的极限是 B，称A是B的一个无偏估计。）标准方差比方差少了一个取极限过程，但式中包含的E仍是个取极限的过程，实用中仍不好办；为此寻找平均值与期望值的关系，以便用平均值代替期望值，这样就可以用测量值来计算标准方差了。完成这一代换的是著名的贝赛尔公式。现推导如下。
   令：
            di=Xi-E       （随机误差）                                              （5）
            vi= Xi-X平    （随机残差）                                           （6）
   要以平均值代替期望值，就是以vi代替di。现在找vi与di之间的关系。
   对（5）式求和：
         ∑di=∑Xi-NE
         ∑Xi=∑di+NE
         X平=(1/N)∑Xi=(1/N)∑di+E

代入（6）
         vi=Xi- (1/N)∑di-E=(Xi-E)-(1/N)∑di=di-(1/N)∑di
平方
         vi2=di2-2(1/N)di∑di+(1/N2)(∑di)2

求和：
         ∑vi2=∑di2-2(1/N)(∑di)2+N(1/N2)(∑di)2
               =∑di2-(1/N)[∑di2+∑didj(i≠j)]                                        （7）

   当N足够大时，各didj因随机误差分布的对称性而相互抵消，即 ∑didj(i≠j)可略。于是有
            ∑di2=[N/(N-1)]∑vi2                                                          （8）
   注意，随机误差di = Xi-E ，将(8)式代入(4)式，即得贝赛尔公式：
            σ=√ { [1/(N-1)]∑(Xi-X平)2  }                                              （9）
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2 皮尔逊相关系数公式的推导
   交叉系数J的基本公式为：
            J =(1/N)(∑ΔXiΔYi) / (RΔXRΔY)             （史文公式13）
   由贝塞尔公式的推导，有关系：
            ∑di2=[N/(N-1)]∑vi2                                                          （8）
   （8）式变形为
            ∑di2=∑[N/(N-1)] vi2
   去掉求和号
            di2=[N/(N-1)] vi2
   由上，并分析误差、残差定义，可知
            di= vi √[N/(N-1)]
   换成本文符号
            ΔXi=√[N/(N-1)] (X-X平)                                                 （10）
            ΔYi=√[N/(N-1)] (Y-Y平)                                                 （11）
   （10）（11）代入（史文13），分子为：
            (1/N) [N/(N-1)] (X-X平) (Y-Y平)
            分子 = [1/(N-1)] (X-X平) (Y-Y平)                                        （12）
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   分母
   由贝塞尔公式的推导，有关系：
            ∑di2=[N/(N-1)]∑vi2                                                          （8）
   （8）式变形为
            (1/N)∑di2=[1/(N-1)]∑vi2                                                    （13）
   左侧为σ真2；右侧为σ2。故有
            σ真 = σ
   即RΔX=σX； RΔY=σY 。代入（史文13），将（12）式也代入（史文13），则公式（史文13）变为
            J=[1/(N-1)][∑[Xi-X平][(Yi-Y平)] / [σXσY]                            （14）
   式（14）就是皮尔逊相关系数公式。
   皮尔逊公式对系统误差的灵敏度为零。
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   由以上推导可知，皮尔逊公式是对随机误差而推导的公式。皮尔逊公式与系统误差无关。不能用皮尔逊公式分析系统误差的相关性问题。
   VIM、GUM、JJF1001、JJF1059关于系统误差相关性判别的条款，都是错误的。
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补充内容 (2016-8-30 15:43):
公式（2）（3）中的lim(M→∞)改为lim(N→∞)

作者: buffona 时间: 2016-9-18 10:46
学习中，非常感谢。
6 随机误差间合成的交叉系数
   对随机误差的合成，若着眼于“方差量”，ΔX是ξx, 代换为[X-X平]；ΔY是ξy，代换为[Y-Y平]，有：
               J=[1/(N-1)][∑[Xi-X平][(Yi-Y平)] / [σXσY]                         （16）
   由于ξx 、ξy 是随机误差，可正可负，可大可小，有对称性与有界性，多次测量，是大量的，因此，随机误差间的合成的交叉系数为零（或可以忽略）。（15）式是当前不确定度论引用的统计理论的相关系数公式（皮尔逊公式）。这个公式对随机误差是对的；对系统误差，不成立（不能代换）。（16）式对系统误差必为零。

这里对交叉系数的论述非常赞，之前重未深入想过，我这么理解您看可对？
Xi=真值+A(系统误差）+Bi（随机误差），则 X平=真值+A(系统误差）+B平（随机误差），系统误差为恒量的话，也就是说测试结果的短期重复性波动其实就是随机误差造成的。那么Xi-X平=Bi-B平，而交叉系数J是0是1其实是由分子造成的，所以可认为交叉系数是不是0，即相不相关，完全是由随机误差决定的（假设完全不相关[Xi-X平]和[(Yi-Y平)正负号随意，在无穷多次测试中这个量必然趋于0），而在分母中σ=√{[1/(N-1)]∑(Xi-X平)2} 也包含 Xi-X平项，即系统误差也被消除了，那么。那么是否可以理解为系统误差和交叉系数J没有影响呢？

还有个问题是A(系统误差）在每次测量中都和真值在一起，该如何确认哪部分是系统误差呢？（如果不区分系统误差和随机误差那么分类合成就很空了），而假设如果确认了系统误差的值，由于系统误差是定值，那么是否可以直接对测试结果进行修正，或者说，可知的系统误差是否应该直接修正掉，而不引人误差计算呢？

Xi=真值+A(系统误差）+Bi（随机误差），∑Xi/N，N为无穷多次测量虽然可以消除随机误差，而由于真值不知，故系统误差不知，而用标准器测试真值给出其约定真值后，可得系统误差，这系统误差是定值，个人认为可提出误差计算，最后加上，而使用了标准器测试约定真值又引入误差------后面不懂了~

说实话，这么一看我自己都感觉意外，因为在我以前的理解中，一直认为交叉系数，或者说不确定度中的相关系数是由于系统误差造成的。比如拿一把卡尺测面积的长和宽，那么就会相关，拿两把分别测则不相关。。。。。。怎么感觉是拿一把卡尺有相同的系统误差才造成相关的，随机误差难道有规律？不然怎么相关呢？。。不解。。。我前面理解错了嘛？求教！谢谢！

补充内容 (2016-8-25 10:25):
而 J=[1/(N-1)][∑[Xi-X平][(Yi-Y平)] / [σXσY] ，就是不确定度相关系数的求法，按前面推导，那么不确定度合成中是默认系统误差不相关嘛？

作者: 一条龙 时间: 2016-9-18 11:12
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   看了你的帖子，知道你在认真思考。我写文章，费力宣传自己的学术观点，但认真读的人不多。你在认真读、认真想，我总算没白费劲。你算我的知音之一，我很高兴。

1 关于系统误差的交叉系数公式
   现代误差理论与不确定度论用的相关系数公式，是就随机误差的特殊情况而推导出来的，仅仅对随机误差成立，对系统误差不成立。因此，不能用皮尔逊公式来说明和讨论关于系统误差的“交叉系数”或相关性问题。VIM与JJF关于系统误差的相关性问题，全部都是错误的。
   随机误差的参考值是平均值；而系统误差的参考值是真值，二者起始点不同，交叉系数公式（以往叫相关系数公式）完全不一样。系统误差的交叉系数，仅有-1与+1两种可能。二项和的平方展开式中，不可能没有交叉项；而系统误差是“正”或“负”的恒值，没有像随机误差那种抵消的问题，说“相关”“不相关”是误导。
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2 关于修正
   不确定度论，所述“修正”，是误导的一种。
   真值是可知的，系统误差是可知的（计量标准的值就是相对真值，有计量标准就可以求得系统误差）。不确定度论把系统误差分为“已定”与“未定”两种，进而说“已定”的修修正了，“未定的”按不确定度处理。这是一个大的歧途和误导。
   仪器的系统误差是客观存在，研制者、计量者有计量标准，是必然知道系统误差的。但仪器通常是不修正的。一台测量仪器有几十万个测量点，几个修正点，杯水车薪，修正对99%的测量仪器行不通。
   测量者，知道所用仪器的误差范围是必然的（选用仪器）。而仪器的误差是以系统误差为主的。因此，应用者以仪器的指标（误差范围）作为系统误差，用于误差合成处理，是方便合理的。
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作者: 57830716 时间: 2016-9-18 11:40
　　我还是认为，误差和不确定度两者定义不同，来源不同，特性不同，使用目的也不同，讨论误差合成就不要与不确定度的合成搅合在一起。在一组测量结果中会有一组测量误差，一组测量结果有算术平均值，也有有分散性。其平均值偏离被测量真值的距离为系统误差，一组测量结果的分散性被认为是随机误差，误差有正负之分。不确定度就是人们对真值可能存在区间宽度的估计值，用宽度的一半来表示，宽度恒为正，每一个测量方法或测量结果只有一个测量不确定度，无法再区分系统不确定度和随机不确定度。怎么能够用误差合成的理论去评价不确定度合成的对错呢？

作者: chaojiwantong 时间: 2016-9-18 12:17
我得疑问就在这里，随机误差真的存在相关性嘛？可能完全相关嘛？，J=[1/(N-1)][∑[Xi-X平][(Yi-Y平)] / [σXσY]，您得推理中得出，此公式为随机误差间得交叉系数得公式，又指出

我的文章中，分析随机误差的合成，就是交叉系数为零，因此是取“方和根”。我一辈子同随机变量与随机误差打交道，还没发现过强正相关的情况，因此，我的文章就写随机误差与随机误差、随机误差与系统误差间，交叉系数为零。取“方和根”。

那么意思即使用J=[1/(N-1)][∑[Xi-X平][(Yi-Y平)] / [σXσY]做为不确定度相关系数公式时，无论相关与否（即无论是例中使用同一卡尺还是不同卡尺），这个值应该都近似为0的（因为按您的推论，这只是求了随机误差的交叉系数）。那么问题来了，这个公式推出如此之久，使用如此之广,难道没有前辈在计算时发现如此容易发现之谬误嘛？也就是说，按照您的理论，此公式为随机误差交叉系数，应该约为0的，那么在真实的实验中这个值真的如此嘛？请问各位计量前辈，是否能提供一些数据，既然分歧已经深入到这里了，就没必要在如此辩论了，实验将说明问题。（如，例中同一卡尺测长宽是必然存在相关性的，那么J=[1/(N-1)][∑[Xi-X平][(Yi-Y平)] / [σXσY]是多少，一目了然）

史老，对您的理论支持的人较少，我认为就是理论和实践的问题。在这个相关系数上，如果您能提供一个实验（必然存在相关性的量，如同一卡尺测试长宽，其数据J=[1/(N-1)][∑[Xi-X平][(Yi-Y平)] / [σXσY]约为0，那么这就是对您理论的最好证明），说实话，我更偏向您的观点，我很难理解随机误差会存在相关性，甚至相关系数为1。假设您的实验成功，那么您的理论得到了证明，如果真的存在J=[1/(N-1)][∑[Xi-X平][(Yi-Y平)] / [σXσY]=1的数据的话，那么我们不得不考虑下，您前面的理论的根基部分是否出了大问题。

作者: 爱上阿南 时间: 2016-9-18 12:42
谢谢您的解惑，对于您此篇的文章，个人认为就是主要集中在J=[1/(N-1)][∑[Xi-X平][(Yi-Y平)] / [σXσY] 这个公式的理解上，此公式不确定度直接引用为不确定度合成中相关系数的计算公式，而经过您的分析，此公式中所使用的数据，仅仅是随机误差相关的，此公式无法表述系统误差的相关性。
而从系统误差的定义考虑，如使用同一卡尺，其系统误差怎么可能没有相关性呢？
之前，由于工作需要评定电源调整率的不确定度计算，其公式U=U1-U2，在求取相关系数后，我就产生这样的疑问，U1和U2都是由重复性（A类）和万用表MPEV（B类）等合成得到的，而计算相关系数中，只是使用了重复性（A类）的数据，这求出的相关性到底是谁和谁的相关性呢？我发帖希望前辈们给于指导，但并没有人进行回复。最后，我只能按照不低估不确定度的原则，对U1和U2进行了绝对和处理。

在您的系统误差合成中，也是使用了此方法，在不低估误差严谨性上毫无问题，但我只是个人绝觉得不是很妥当，因为在-1时，其系统误差合成会明显小于分量中较大的那个，以绝对和处理个人认为非常大的放大了-1时的合成误差。

作者: redfree 时间: 2016-9-18 13:12
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                                 误差合成的新理论
                                                ——交叉系数决定合成法（2）
                                                            （2016年7月学术报告稿）
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                                                                                                                  史锦顺
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2 单项随机误差元构成的误差范围
   按统计理论，随机误差是正态分布（N不大时有t分布）。以3σ为半宽的分布区间，包含概率大于99%。
   对随机误差，有如下定义与关系：
   1）随机误差元等于测得值减“测得值的期望值”。随机误差元的期望值是零。随机误差元为：
               ξi = Xi - EX                                                                      （1）
   2）标准误差定义为
               σ=√[(1/N)∑ξi2]                                                                （2）
   3）用测得值的平均值代换（2）式中的期望值，得到著名的贝塞尔公式：
               σ=√{[1/(N-1)]∑(Xi-X平)2}                                                 （3）
      易于证明，存在如下关系：
               ∑(Xi -X平)  = 0
   4）随机误差范围
               R随= 3σ(ξ)=3√(1/N)∑ξi 2
                     =√(1/N)∑(3ξi)2                                                          （4）
   5）由公式（4），有：
               R随=3σ = FG(3ξ)                                                             （5）
   σ是方差的根，是“均方根”。属于“方差量”。
   如（5），3σ、FG(3ξ )是随机误差范围。简称“范围”。
   着眼误差范围，取方根时，以3ξ为随机误差元，则随机误差对误差范围的权重为1，与系统误差权重相同。
   随机误差范围等于FG(3ξ) 是新公式，仅限于在推导合成公式时使用。通常应用仍是随机误差范围等于3σ。
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3 单项系统误差元构成的误差范围
   系统误差元用β表示。β是或正或负的恒值。
   单个系统误差构成的误差范围：
               R系 =√ [(1/N)∑βi2 ]
                        =√ β2
                        = |β|                                                                      （6）
   单个系统误差构成的误差范围，是该系统误差的绝对值。
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作者: 2支棒棒糖 时间: 2016-9-18 13:16
非常感谢史老师的解答。对史老师抽象分析问题、解决主要矛盾的方法感到赞叹。
我想我和某位同志都去考虑到那个有规律变化的系统误差分量是有原因的，看了您的解答，似乎您说那个分量是“慢变化”的，而且相对比较小。我在实际工作中做的是电磁计量，而且不是那种精度多高的，也就是普通的市级单位面向地区的检定。对于这个有规律变化的分量感觉，很多测量真的不慢，影响也不小。如果测量当时不予考虑，可能结果就不对了。一般来说这类测量是对于非常小的值的测量（比如微、毫数量级的电参数），原理相对复杂的测量或者设备响应灵敏的测量（比如电阻测量，及时对线性电阻，即使就是我的手，离导线一个可见的距离远近，由于感应、温度造成结果有可观的变化，这个在接线时让我少许懊恼），由于每回测量都会造成这种影响，可能做长时间稳定度来考虑不太好。假设长时间稳定度的时候，有些结果测量过程中我使用手套或者其他手段减少了这个系统误差（呵呵，这也引申了一个问题，测量者本身属于测量系统么？），有些时候却没有，那么反应的结果就不具代表性了。或者按我理解，您的意思是把诸如我的手造成的影响按照长期稳定性检定时的结果来替代。我觉得不太可取之处是——对于某些测量，它有点大，如果当时不去修正，那么结果明显不对。但是当时就去修正，用长期稳定度的值去修正，又不是次次一样的。这就成了一个结。
所以我认为，您如果不予考虑此项，更适合用“固有误差”的概念来代替系统误差。

顺便说一下这个恼人的手和导线距离带来的误差，按说实在不行我就离远点再看示值，可是偏偏接口类型太多了，每个设备又不同，很多时候我不用手按着就不通电……而且即使没有这个距离带来的温度变化，很多设备的漂移还是存在的……

作者: gxf 时间: 2016-9-18 13:19
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                              误差合成的新理论
                                          ——交叉系数决定合成法（4）
                                                      （2016年7月学术报告稿）
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                                                                                                            史锦顺
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6 随机误差间合成的交叉系数
   对随机误差的合成，若着眼于“方差量”，ΔX是ξx, 代换为[X-X平]；ΔY是ξy，代换为[Y-Y平]，有：
               J=[1/(N-1)][∑[Xi-X平][(Yi-Y平)] / [σXσY]                         （16）
   由于ξx 、ξy 是随机误差，可正可负，可大可小，有对称性与有界性，多次测量，是大量的，因此，随机误差间的合成的交叉系数为零（或可以忽略）。（15）式是当前不确定度论引用的统计理论的相关系数公式（皮尔逊公式）。这个公式对随机误差是对的；对系统误差，不成立（不能代换）。（16）式对系统误差必为零。
   随机误差合成，是“方和根”：
               RΔf = √ [RΔX2+RΔY2] = √ [(3σX)2+(3σY)2]                         （14）
               σf = √ [σX2 + σY2]    （原方差合成）                            （14.1）
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7 随机误差与系统误差合成的交叉系数
   两个分项误差，一个是随机的，记为ξ，考虑到对误差范围的权重，取单元量为3ξ（对应ΔX）；一个是系统的（重复测量中不变），记为β（对应ΔY）。
   代入公式（13），有
               J =(1/N)(∑3ξiβ) / [R(3ξ) R(β)]
   系统误差元β是恒值，可以提出来，有
               J =(1/N) (3β∑ξi) / [R(3ξ) R(β)]                                        （17）
   大量重复测量（例如N=20，N不得小于10）中，(17）式中的∑ξi  等于零或可以忽略，因此J近似为0，可以忽略。“方和根法”成立：
            RΔf = √ [β2+(3σ)2]                                                       （18）

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