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标题: 有效数字及其运算 [打印本页]

作者: 蔡鑫 时间: 2016-8-22 21:54
标题: 有效数字及其运算

有效数字及其运算

实验离不开测量，测量是借助仪器读取数据，测量的结果总有误差。那么，实验中如何读取数据，测得的数据如何进行运算，才能既方便，又具有合理的准确度呢?这就是有效数字及其运算所要讨论的问题。下面将作简要介绍。
一、有效数字的意义
1.仪器的读数规则
在实验中，使用仪器读取待测量的数值时，所读取的数字的准确程度直接受仪器本身的精密度——最小刻度的限制。为了获得较好的测量结果，在读取数字时，我们通常的作法是：首先读出能够从仪器上直接读出的准确数字，对余下部分再进行估计读数。即将读数过程分为直读和估读。例如，如图2所示，用米尺测量一物体的长度时，物体的长度在7.4～7.5厘米之间。那么首先直读，可以直接读出的部分——准确数字应为7.4cm；然后估读，估计余下部分约为0.5mm，即0.05cm；物体的长度即为7.45cm。则，其中7.4cm部分为可靠数字，0.05cm部分为存疑数字。
2．有效数字的定义
我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字。如上例中测得物体的长度7.45cm。数据记录时，我们记录的数据和实验结果的表述中的数据便是有效数字。
3.说明
(1)实验中的数字与数学上的数字是不一样的。如
数学的 8.35=8.350=8.3500 ,
而实验的 8.35≠8.350≠8.3500。
(2)有效数字的位数与被测量的大小和仪器的精密度有关。如前例中测得物体的长度为7.45cm，若用千分尺来测，其有效数字的位数有五位。
(3)第一个非零数字前的零不是有效数字。
(4)第一个非零数字开始的所有数字(包括零)都是有效数字。
(5)单位的变换不能改变有效数字的位数。因此，实验中要求尽量使用科学计数法表示数据。如100.2m可记为0.1002km。但若用cm和mm作单位时，数学上可记为10020cm和100200mm，但却改变了有效数字的位数。采用科学计数法就不会产生这个问题了。
(6)有效数字与不确定度的关系。
有效数字的末位是估读数字，存在不确定性。一般情况下不确定度的有效数字只取一位，其数位即是测量结果的存疑数字的位置；有时不确定度需要取两位数字，其最后一个数位才与测量结果的存疑数字的位置对应。
由于有效数字的最后一位是不确定度所在的位置，因此有效数字在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效数字位数越少，相对不确定度就越大。可见，有效数字可以粗略反映测量结果的不确定度。

作者: 威风凛凛 时间: 2016-8-22 22:28
引用-------(6)有效数字与不确定度的关系。

是吗?有待商榷.

有的测量数字的最后2位或3位都有可能是估读的,计量基准就有这个问题,

另:不确定度一般都取2位有效数字,楼主说是1位,也有一点道理!!

作者: nshukwrd 时间: 2016-8-23 01:23
二、运算规则
一般来讲，有效数字的运算过程中，有很多规则。为了应用方便，我们本着实用的原则，加以选择后，将其归纳整理为如下两类。
1.一般规则
(1)可靠数字之间运算的结果为可靠数字。
(2)可靠数字与存疑数字，存疑数字与存疑数字之间运算的结果为存疑数字。
(3)测量数据一般只保留一位存疑数字。
(4)运算结果的有效数字位数不由数学或物理常数来确定，数学与物理常数的有效数字位数可任意选取，一般选取的位数应比测量数据中位数最少者多取一位。例如：可取=3.14或3.142或3.1416……；在公式中计算结果不能由于“2”的存在而只取一位存疑数字，而要根据m和v来决定。
(5)运算结果将多余的存疑数字舍去时应按照“四舍六入五凑偶”的法则进行处理。即小于等于四则舍；大于六则入；等于五时，根据其前一位按奇入偶舍处理(等几率原则)。例如，3.625化为3.62，4.235则化为4.24。
1.       具体规则
(1)有效数字相加(减)的结果的末位数字所在的位置应按各量中存疑数字所在数位最前的一个为准来决定。例如
      30.4                   26.65
      +  4.325             - 3.905
      34.725                22.745
取30.4+4.325=34.7，26.65-3.905=22.74。
(2)乘(除)运算后的有效数字的位数与参与运算的数字中有效数字位数最少的相同。
由此规则(2)可推知：乘方、开方后的有效数字位数与被乘方和被开方之数的有效数字的位数相同。
(3)指数、对数、三角函数运算结果的有效数字位数由其改变量对应的数位决定。例如：中存疑数字为0.08，那么=？我们将的末位数改变1后比较，找出发生改变的位置就能得知。
(4)有效数字位数要与不确定度位数综合考虑。
   一般情况下，表示最后结果的不确定度的数值只保留1位，而最后结果的有效数字的最后一位与不确定度所在的位置对齐。如果实验测量中读取的数字没有存疑数字，不确定度通常需要保留两位。
但要注意：具体规则有一定适用范围，在通常情况下，由于近似的原因，如不严格要求可认为是正确的。

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