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标题: 被测量值(量的真值)与测量误差的可能散布及其统计问题 [打印本页]

作者: caixin 时间: 2016-8-18 17:03
标题: 被测量值(量的真值)与测量误差的可能散布及其统计问题
如果不加丝毫简略，任何被测量值(量的真值)Z都会是一个“随机变量”——与第i次“测量”对应的“被测量值样本”不妨标记为
zi，i=1、2、…、N(→∞)    (1)
相应的，可实用标记
                  Z=｛z1 、z2 、… 、z∞｝       (2)
正常情况下，任何成熟的测量方案C(按标称要求使用一套测量仪器，意图获取某个被测量值的“方案”)的测量误差E会是一个零均值的“随机变量”——与第i次“测量”对应的“测量误差样本”不妨标记为
εi，i=1、2、…、N(→∞)       (3)
相应的，可实用标记
            E=｛ε1 、ε2 、… 、ε∞｝       (4)
其均值:
μE=0                   (5)
用测量方案C测量被测量值Z，所得的“测得值样本”不妨标记为
mi，i=1、2、…、N(→∞)       (6)
相应有
mi= zi+εi，i=1、2、…、N(→∞)       (7)
将“测得值样本”｛mi，i=1、2、…、N(→∞)｝构成的“随机变量”（总体）记为M，即
M=｛m1 、m2 、… 、m∞｝          (8)
相应有
M= Z+E                      (9)
如果考虑最简单的情况——假定Z与E都服从“正态分布”，即
Z～ N( μZ, σZ  )          (10)
E～ N( 0, σE  )          (11)
其中，μZ为被测量值(量的真值)Z的“均值”；σZ与σE则分别为被测量值(量的真值)Z的“标准偏差”与测量误差E的“标准偏差”；（11）式是应用了μE=0的结果。
【特别说明：有许多实际情况是不合式（10）和（或）式（11）的“假定”的，譬如涉及‘闪烁噪声’之类的情况便需要“阿伦方差理论”来描述。】
由（9）、（10）及（11），有
μM =μZ                   (12)
其中，μM为测得值M的“均值”。
通常情况下，应该可以合理的假定被测量值(量的真值)Z与测量误差E是“独立无关的”，便可由（9）、（10）及（11），有
σM =√(σZ^2 +σE^2 )             (13)
其中，σM为测得值M的“标准偏差”。

在考虑最简单的情况下：对于“常规测量”——对未知的被测量值(量的真值)Z的“测量”，需求目标显然是“μZ”与“σZ”；对于“测量系统标定、校准”之类的“非常规测量”——对已知量值Z （“μZ”及“σZ”已知）的“测量”，需求目标则显然是体现“测量方案优劣品质”的指标“σE”。
如果真能如理想所愿——测量次数N→∞，那么，(12)及(13)式中的μM和σM便可以“精确”获得！相应的，对于“常规测量”，即刻可得到“μZ”（在测量方案“成熟”的假定下——μE=0），在已知“σE”的前提下由(13)式也易得“σZ”；对于“μZ”及“σZ”已知的“非常规测量”，(12)式便用于“误差修正”，由(13)式可得“σE”。
然而，实际并非真能如理想所愿——测量次数N总是有限的，只能得到μM的估计值aM和σM的估计值sM
aM=( m1 +m2 +… +mN)/N                                  (14)
sM=√{[( m1- aM)^2 +( m2- aM)^2 +… +( mN- aM)^2]/(N-1)}    (15)
aM与μM难免有差异，相应的，aM与需求的“μZ”显然也会有所“差异”。
为了“评估”aM与需求的“μZ”的“差异大小”，定义被测量“均值”μZ的估计值aZ
aZ  =  ( z1 +z2 +… +zN) / N                   (16)
考虑aM与aZ“差值”：
d = aM - aZ                         (17)
不难得到
d = ( ε1 +ε2 +… +εN ) / N             (18)
   如果N次测量的“测量误差样本”｛ε1 、ε2 、… 、εN｝相互“独立”，那么，考虑aM与aZ“差值”d的“标准偏差”将为
σd =σE / √N                   (19)
   此σd就是那个所谓的“除以根号N的σ”。其实质含义是：在一定条件下，有限个“测得值样本”的“平均值”与对应“被测量真值样本”的“平均值”之差的“标准偏差”！其中——
① 被√N除的是“测量误差”的“标准偏差”σE，而不是测得值M的“标准偏差”σM，也不是如(15)式所列σM的估计值sM！！
② 对于实际测量，N次测量的“测量误差样本”｛ε1 、ε2 、… 、εN｝相互“独立”的“如果”是很难成立的，实际测量时会有
σE /√N ≤ σd  ≤σE             (20)

说明：两字符并列时，后一个字符是下标。

作者: wsm123123 时间: 2016-8-18 20:45
1#有些地方考虑不周，修正如下——

如果不加丝毫简略，任何被测量值(量的真值)Z都会是一个“随机变量”——与第i次“测量”对应的“被测量值样本”不妨标记为
zi，i=1、2、…、N(→∞)    (1)
相应的，可实用标记
                  Z=｛z1 、z2 、… 、z∞｝       (2)
正常情况下，任何成熟的测量方案C(按标称要求使用一套测量仪器，意图获取某个被测量值的“方案”)的测量误差E也会是一个“随机变量”——与第i次“测量”对应的“测量误差样本”不妨标记为
εi，i=1、2、…、N(→∞)       (3)
相应的，可实用标记
            E=｛ε1 、ε2 、… 、ε∞｝       (4)
用测量方案C测量被测量值Z，所得的“测得值样本”不妨标记为
mi，i=1、2、…、N(→∞)       (6)
相应有
mi= zi+εi，i=1、2、…、N(→∞)       (7)
将“测得值样本”｛mi，i=1、2、…、N(→∞)｝构成的“随机变量”（总体）记为M，即
M=｛m1 、m2 、… 、m∞｝          (8)
相应有
M= Z+E                      (9)
如果考虑最简单的情况——假定Z与E都服从“正态分布”，即
Z～ N( μZ, σZ  )          (10)
E～ N( μE, σE  )          (11)
其中，μZ与μE分别为被测量值(量的真值)Z与测量误差E的“均值”；σZ与σE则分别是它们的 “标准偏差”。
【特别说明：有许多实际情况是不合式（10）和（或）式（11）的“假定”的，譬如涉及‘闪烁噪声’之类的情况便需要“阿伦方差理论”来描述。】
由（9）、（10）及（11），有
μM =μZ  +  μE                (12)
其中，μM为测得值M的“均值”。
通常情况下，应该可以合理的假定被测量值(量的真值)Z与测量误差E是“独立无关的”，便可由（9）、（10）及（11），有
σM =√(σZ^2 +σE^2 )             (13)
其中，σM为测得值M的“标准偏差”。

在考虑最简单的情况（即，符合式（10）和式（11）“假定”的情况）下：对于“常规测量”——对未知的被测量值(量的真值)Z的“测量”，需求目标显然是“μZ”与“σZ”；对于“测量系统标定、校准”之类的“非常规测量”——对已知量值Z （“μZ”及“σZ”已知）的“测量”，需求目标则显然是体现“测量方案优劣品质”的指标“μE”及“σE”。
如果真能如理想所愿——测量次数N→∞，那么，(12)及(13)式中的μM和σM便可以“精确”获得！相应的，对于“常规测量”，在已知“μE”及“σE”的前提下，分别由(12)、(13)式易得“μZ”和“σZ”；对于“μZ”及“σZ”已知的“非常规测量”，由(12)式可得“μE”—用于“误差修正”，由(13)式可得“σE”。
然而，实际并非真能如理想所愿——测量次数N总是有限的，只能得到μM的估计值aM和σM的估计值sM
aM=( m1 +m2 +… +mN)/N                                  (14)
sM=√{[( m1- aM)^2 +( m2- aM)^2 +… +( mN- aM)^2]/(N-1)}    (15)
aM与μM难免有差异，考虑aM与μM “差值”：
         f  = aM-μM                   (16)
不难得到
f  = [( m1 -μM )+ ( m2 -μM ) +… +( mN -μM ) ] / N       (17)
如果N次测量的“测得值样本与其均值的偏差”｛( m1 -μM )、( m2 -μM ) 、… 、( mN -μM )｝相互“独立”，那么，aM与μM “差值”f的“标准偏差”将为
σf=σM / √N                (18)
此σf就是那个所谓的“除以根号N的σ”之一。其实质含义是：在一定条件下，有限个“测得值样本”的“平均值”与测得值M的“均值”μM之差的“标准偏差”！
需要注意的是：对于实际测量，N次测量的“测得值样本与其均值的偏差”｛( m1 -μM )、( m2 -μM ) 、… 、( mN -μM )｝相互“独立”的“如果”是不可能成立的，实际测量时会有
σM /√N  < σf  ≤σM             (19)
其中的σM通常取如(15)式所列的估计值sM。
有时候，也可能要“评估”有限个“测得值样本”的“平均值”aM与相应“被测量（真）值样本”的“平均值”aZ的“差值”d
aZ  =  ( z1 +z2 +… +zN) / N                (20)
d = aM - aZ                                        (21)
不难得到
d = ( ε1 +ε2 +… +εN ) / N             (22)
   如果N次测量的“测量误差样本”｛ε1 、ε2 、… 、εN｝相互“独立”，那么，aM与aZ“差值”d的“标准偏差”将为
σd =σE / √N                   (23)
此σd是另一个所谓的“除以根号N的σ”。其实质含义是：在一定条件下，有限个“测得值样本”的“平均值”与对应“被测量（真）值样本”的“平均值”之差的“标准偏差”！对此，需要注意两点：
① 其中被√N除的是“测量误差”的“标准偏差”σE，而不是测得值M的“标准偏差”σM，也不是如(15)式所列σM的估计值sM！！
② 对于实际测量，N次测量的“测量误差样本”｛ε1 、ε2 、… 、εN｝相互“独立”的“如果”是很难成立的，实际测量时会有
σE /√N ≤ σd  ≤σE             (24)

说明：两字符并列时，后一个字符是下标。

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