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标题: 史氏测量计量学说(6) ——第5章 误差范围与误差合成 [打印本页]

作者: xuyuzheng    时间: 2016-8-18 20:04
标题: 史氏测量计量学说(6) ——第5章 误差范围与误差合成
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                           史氏测量计量学说(6)          
                                                  ——第5章 误差范围与误差合成            
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                                                                                                                                   史锦顺          
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(一)误差量的特点      
       误差,表明测得值与实际值(被测量的真值)的差距。误差是个泛指的概念,包括误差元与误差范围两个概念。
       误差元等于测得值减真值。误差元是误差概念的基本单元,表明误差的物理意义与计算方法,是误差理论的基础。但对一项测量计量的表达对象,误差元是可正可负、有大有小的量,不便直接表达与应用。
       误差量的特点是它的上限性。取误差元的绝对值,就去掉了误差元的正负号;取误差元的绝对值的一定概率(99%)意义下的最大可能值,就把误差元的多个可能值,变成了一个值,这个值就是误差范围。
       误差范围体现了误差量的特点,简单、够用;它被应用于研制、计量、测量三大场合。研制是用计量标准与物理机制建立仪器的误差范围;计量靠计量标准检验、公证仪器的误差范围;测量是利用误差范围。人们用经过计量合格的测量仪器进行测量,在得到测得值的同时,知道了该测得值的误差范围不超过测量仪器误差范围的指标值,只要测量仪器的误差范围指标满足要求,人们就得到了够格的测量结果,达到了测量的目的。
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        将误差元变成误差范围,称为误差合成。误差合成的任务就是两条:去掉诸误差元的正负号;找到诸误差元共同作用产生的总误差元的绝对值的最大可能值。
       一般量的特点是“双限性”,就是不能过大,也不能过小。而误差量不同,对误差量的要求是不能过大,而越小越好。这是误差量的“上限性”。因为误差元有正有负,所谓误差大、误差小,是只论绝对值,而不管正负号。
       考虑、选取误差合成的方案,特别要注意误差量的上限性。本书基于误差量“上限性”的特点,提出“取绝对和好”的判断。
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(二)误差范围与两个区间        
       通常的函数关系,是函数与自变量一一对应。测量计量理论的函数关系,却是一个自变量对应函数的一个区间。误差范围是函数区间的半宽。
       误差元等于测得值减真值;误差范围是误差元的绝对值的一定概率意义下的最大可能值。有这两个定义,第4章推导了两个区间的公式。
       研制、计量中用的测得值区间为:
                     Z-R ≤ M ≤ Z+R                                                                             (4.9)
       Z是被测量的量值(真值),M是测得值,R是误差范围。
       测量中用的被测量量值区间为:
                    M-R ≤ Z ≤ M+R                                                                            (4.15)
       以上两个区间公式,即测得值公式与真值公式,是把误差范围的定义的最大值符号max去掉推导的结果,表明区间中全部量值点的关系,物理意义明确,表达完备。另有一种最常用的表达方式,那就是着眼点于区间边界点,而得出的公式,有最简洁的形式,而实际内容,与上二式等效。推导时不去掉最大值符号max,着眼点于区间边界,即只用等号。
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       A 测得值区间公式      
       基本公式
                    │M – Z│max = R
       只着眼最大点,有
                    │M – Z│ = R                                                                                    (5.1)
       解绝对值方程(5.1)        
       当M>Z时,有
                    M(大)=Z+R                                                                                     (5.2)
       当M<Z时,有
                    M(小)=Z-R                                                                                      (5.3)
       综合(5.2)式、(5.3)式,有
                    M = Z±R                                                                                          (5.4)
       M(大)等于区间上边界点,M(小)等于区间下边界点。M的整个区间为:
                    Z-R ≤ M ≤ Z+R                                                                                (4.9)
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       B 真值区间公式
       基本公式
                    │M – Z│max = R  
       只着眼最大点,有
                    │M – Z│ = R                                                                                     (5.1)
       解绝对值方程(5.1)
       当M>Z时,有
                    Z(小) = M-R                                                                                     (5.5)
       当M<Z时,有
                    Z(大) = M+R                                                                                    (5.6)
       综合(5.5)式、(5.6)式,有
                    Z = M±R                                                                                           (5.7)
       Z(大)等于区间上边界点,Z(小)等于区间下边界点。Z的整个区间为:
                    M-R ≤ Z ≤ M+R                                                                                (4.15)
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(三) 误差范围的人、绳、狗模型               
       真值、测得值、误差元与误差范围的关系,可以比喻为人、绳、狗的关系。
       真值比做人,测得值比做狗,误差就是人与狗的距离。人狗的位置差,时刻在变化,但距离的最大值被绳长所限制。绳长比做误差范围,是个单一值;人与狗的距离比做误差元,从零可变到绳的长度。
       固定人的位置,狗活动在以人为圆心、以绳长为半径的圈内。这像研制与计量中的测得值区间。测得值区间以真值为中心、以误差范围为半宽。
       某时观测到狗的位置,则人必在以狗为圆心,以绳长为半径的圈内。这像测量中的真值区间。被测量的量值区间(真值区间)以测得值为中心、以误差范围为半宽。
       绳长限制了人与狗的距离。知道人的位置,可以找到狗;同样,知道狗的位置,也可以找到人。
       同一误差范围,贯穿于测得值区间与被测量量值区间这两个区间中,是测得值与真值之间变换换的基础。研制中,确立真值到测得值的变换;测量中,利用测得值到真值的变换。误差范围决定两个变换的质量,也就是决定测量的水平。
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       测量仪器的误差范围,在生产时被造就,而在计量时,被公证。能确认误差范围之值,是因为计量中有标准。而标准之标称值,可视为真值。定标时、计量时的测得值区间,是测量仪器的特性,它确定了测得值对真值的关系。测量仪器的这个特性,在测量中将表现出来,即表达测得值与真值的关系,因此可由测量中得到的测得值来确定被测量的真值。
       研制与计量中,依靠真值确认误差范围;测量中由已知的误差范围与测得值而得知被测量的量值。测量结果是测得值加减误差范围,被测量的真值包含在测量结果中。
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(四)误差范围的重要性           
       1 误差范围是测量仪器的测得值函数的简化表达;
       2 误差范围是测量仪器性能的表征;误差范围指标值是测量仪器水平的标志
       3 计量是对测量仪器误差范围的检验与公证。计量的作业是求得被检仪器的实际误差范围值;仪器计量合格,就是指仪器的误差范围的实际值不大于仪器的误差范围指标值。
       4 误差范围是测量中真值函数的简化表达。
       5 测得值与误差范围共同构成测量结果。标志测量水平的是误差范围。在满足仪器使用条件、正确操作的条件下,测量者用测量仪器的误差范围指标值,当作测得值的误差范围,是合理的、冗余的代换。因此,人们选用误差范围指标够格的测量仪器进行测量,在得到测得值的同时,也知道了测得值的误差范围。被测量的真值包含在测量结果中。于是人们就达到了测量的目的。
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       测量仪器的误差范围指标(准确度),是仪器生产的目标,是计量合格性判别的标准,是使用者选用仪器与表示测量结果的依据。测量仪器的研制、生产、使用,用一个误差范围指标(准确度)贯穿起来,是人类社会的组织效果,是人类文明的一种体现。
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(五)误差合成方法的比较            
        误差合成,主要用于三种场合。研制测量仪器时,依据仪器的测量方程,把构成总误差的各个测量因素,合成为总误差范围。直接测量时,依据直接测量的测量方程,把随机误差、各项系统误差合成为总误差范围。间接测量时,依据间接测量的函数关系公式,把各个直接测量的误差范围,合称为总误差范围。
       误差合成有三种方法。
      (1)混合法         
       历史上,标准的研制、测量仪器的研制,误差合成大都用混合法。就是对随机误差与项目较多的小的系统误差,用方和根法;而对少数几项大的系统性误差,用绝对和法。这是一种直观的判断,没有这方面的严格分析。历史证明,混合法基本可用。
      (2)方和根法         
       取各项平方和的根。
       各量和的平方,等于各量平方的和再加上交叉乘积项之和。交叉乘积项之和可以忽略的条件是各量独立而不相关。随机误差一般可认为是不相关的。由于测量仪器不仅有随机误差,还有系统误差,而且系统误差通常占主导地位,如何判别相关性,就是个难题。
       主张采用方和根法,是当代的主流;但实际是一种行不通的空想。
       他们讲道理时说,当分项间不独立时,要计及相关系数,要计算协方差。而计算相关系数、计算协方差,极其麻烦。怎办?通常都是设“独立”、“不相关”;这是掩耳盗铃的作法。不确定度理论推广以来,对通常的相关或部分相关的情况,都按“不相关”处理,这是错误的。
       所谓用“相关系数公式判别相关性”实际是行不通的。相关系数公式仅仅对随机误差才成立,包含有系统误差的场合,相关系数公式不成立。现有的相关系数公式对系统误差的灵敏度为零。一般仪器是以系统误差为主的,而相关系数又与系统误差无关,这样,所谓相关性判别,实际是没法计算的。大量规范、文件、书籍所说的“假定不相关”,都是不符合实际的。是掩耳盗铃。方和根法所要求的条件不成立,方法本身就没有理论基础。
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       (3)绝对和法           
       各项分项误差,绝对值相加。
       绝对和法的优点:
       1 符合误差量上限性的特点,不要求条件、保险。
       2 符合最基本的数学原理(数学手册方法)。
       3 实际性能到性能指标有余量,信誉高。
       4 好算,设计者欢迎。
       5 有余量,合格性的临界状态少,计量易判别。
       6 可靠,测量者欢迎。
       7 鉴定会容易通过。
       8 促进提高仪器性能。
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(六)绝对和法的一般表达           
       绝对和法就是各项取绝对值后相加。
       绝对和法就是各分项误差范围(都是正值)相加。
       设测得值函数为
                    M = f(X1,X2,X3)
       泰勒展开的一阶项是
                    ΔM = (?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3
       误差范围为:
                    R =│ΔM│max
                       =│(?f/?X1) ΔX1+(?f/?X2) ΔX2+(?f/?X3) ΔX3│max
                       =│?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max + │?f/?X1││ΔX1│max
                       =│?f/?X1│R1 + │?f/?X2│R2 + │?f/?X3│R3
                       = R(1) + R(2) + R(3)
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(七)绝对值合成法的常用公式             
       以下公式,参照《数学手册》(科学出版社,1980版)编写。这是六项最基本的误差范围合成公式。可惜,这些最基本的知识,一些人,包括某些专家,竟不知道。他们怎样计算呢?一律取方和根。不仅不确定度论如此;一些误差理论书也如此。前面讲过,取方和根法的条件“不相关”,在有系统误差的条件下,相关系数公式不成立。因此,方和根法没有理论基础。
       不确定度论指谪误差理论没有统一的误差合成方法,从而主张一律取方和根。这是一条走不通的难路、死路。

       鉴于误差量的“上限性”的特点,笔者认为经典测量理论的“绝对值合成法”,是简单的、现实可行的、保险的;也是合理的、正确的。
       本章以数学的形式,推导绝对合成的公式,说明经典方法的严格性、合理性。须知:误差合成是仪器设计者、测量方案设计者自己的事,这样做,自己方便、有利别人,是严于律己的做法,易懂易学、处理方便又保险,何乐而不为之?也许有人说,这样做,于己可以;要求别人,就不合理了。
       计量时,是要求别人。但是,计量靠的是标准,靠的是实测,计量对被捡对象的合格性判别,与误差合成方法无关。
       如果某些特定场合,需要进行误差合成,最可信的方法是绝对值合成。
       本书推荐最基本的六大公式。好记,好用。
1 和的误差公式
       定理一:二量和的误差范围,等于二量的误差范围之和。      
       证明
       1.1物理公式
                    C=A+B  
       1.2计值公式
       对物理公式加标号,m表测得值(下同)
                   Cm=Am+Bm
       1.3测量方程
       联立物理公式与计值公式
                    Cm-C =Am-A+Bm-B
       1.4 误差范围关系
       用r表误差元,R表误差范围(下同)
       由测量方程
                    r(C)=r(A)+r(B)
                    │r(C)│max=│r(A)+ r(B)│max
                                    =│r(A)│max+│r(B)│max
       误差元的绝对值的最大可能值是误差范围,故有:
                    R(C)=R(A)+R(B)  
       定理一得证。
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2 差的误差公式          
       定理二:二量差的误差范围,等于二量的误差范围之和(不是差)。
       证明
       2.1 物理公式
                    A=C-B
       2.2 计值公式
                    Am = Cm-Bm.
       2.3 测量方程
       联立物理公式与计值公式
                    Am-A = Cm-C – (Bm-B)
       2.4 误差范围关系
       由测量方程
                    r(A)=r(C)-r(B)
                    │r(A)│max=│r(C)- r(B)│max
                                     =│r(C)│max+│r(B)│max
       误差元的绝对值的最大可能值是误差范围,故有:
                    R(A)=R(C)+R(B)  
       定理二得证。
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3 积的误差公式                  
       定理三:二量积的相对误差范围,等于二量的相对误差范围之和。           
       证明
       3.1 物理公式
                    C = A B
       3.2 计值公式
                    Cm = Am Bm
       3.3 测量方程
       联立物理公式与计值公式,解得
                    Cm/ C = A m Bm/(A B)
       3.4 误差范围关系
       由测量方程
                    (C+ΔCm)/C = [(A+ΔAm)/A] [(B+ΔBm)/B]
                    1+δr(C) =[(1+δr(A))][1+δr(B)]
                    δr(C) =δr(A) +δr(B)
                   │δr(C)│max =│δr(A)│max+│δr(B)│max
       误差元的绝对值的最大可能值是误差范围,故有:
                    δR(C)=δR(A)+δR(B)  
    定理三得证。
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4 商的误差公式         
       定理四:二量相除,商的相对误差范围,等于二量的相对误差范围之和。           
       证明
       4.1 物理公式
                    A = C / B
       4.2 计值公式
                    Am = Cm / Bm
       4.3 测量方程
       联立物理公式与计值公式,解得
                    Am/ A = [Cm /Bm] B/C  
       4.4 误差范围关系
      由测量方程
                   (A+ΔAm)/A = [(C+ΔCm)/C] / [(B+ΔBm)/B]
                   1+δr(A) =[(1+δr(C))] / [1+δr(B)] =[(1+δr(C)] [1-δr(B)]
                   δr(A) =δr(C) -δr(B)
                   │δr(A) │max=│δr(C) -δr(B) │max =│δr(C) │max +│δr(B) │max
       误差元的绝对值的最大可能值是误差范围,故有:
                   δR(A)=δR(C)+δR(B)   
       定理四得证。

5 幂的误差公式       
       定理五:A等于B的n次方,则A的误差范围等于B的误差范围的n倍。            
       证明
       5.1 物理公式
                    A =B^n  
       5.2 计值公式
                    Am = Bm^n  
       5.3测量方程
       联立物理公式与计值公式,解得
                    Am /A= Bm^n/B^n
       5.4 误差范围关系
       由测量方程
                    (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^n= [1+δr(B)]^n
                   1+δr(A) = 1+nδr(B)
                   δr(A) = nδr(B)
                   │δr(A) │max=│nδr(B) │max = n│δr(B) │max
       误差元的绝对值的最大可能值是误差范围,故有:
                   δR(A)= nδR(B)  
       定理五得证。

6 根的误差公式         
       定理六:A等于B的n次方根,则A的误差范围等于B的误差范围的1/n倍。            
       证明
       6.1 物理公式
                    A =B^(1/n)
       6.2 计值公式
       对物理量加标号,m表测得值
                    Am = Bm^(1/n)
       6.3 测量方程
       联立物理公式与计值公式,解得
                    Am /A= Bm^(1/n) / B^(1/n)  
       6.4 误差范围关系
       r表误差元,R表误差范围。
                  (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^ (1/n)= [1+δr(B)]^ (1/n)
                   1+δr(A) = 1+(1/n)δr(B)
                   δr(A) = (1/n)δr(B)
                  │δr(A) │max=│(1/n)δr(B) │max = (1/n)│δr(B) │max
       故有:
                   δR(A)=(1/n)δR(B)
       定理六得证。
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作者: wsm123123    时间: 2016-8-18 20:38
不确定度合成,通常用的就是混合法。
作者: 57830716    时间: 2016-8-18 21:12
不确定度的合成一般分成若干部,不能光看最后一步。大多数混合合成法体现在其中的分项合成时。比如由于“重复性”和“分辨力”的不确定度是有相关性的,根据经验型方法,只取它们之中最大的那个:量块的测量模型中,也要考虑到温度和长度的相关性,是要进行处理的。JJF1059.1中这样的案例有好几个,所以合成方法并不是唯一的方和根,只是隐藏在不同的合成阶段,而且处理方法上可能用经验性方法被简化了。
作者: redfree    时间: 2016-8-18 22:35
史老笔耕不辍,后生拜服啊
作者: buffona    时间: 2016-8-18 22:42
我看过上百个不确定度评定的样板,都是用“方和根”法合成,没见到一个评定中用绝对值相加的。先生说“通常用的就是混合法”,不符合事实。不确定度论的基本立场是取方和根评定标准不确定度,必须用方和根,哪里会混合有“绝对和法”?不要说“通常”,在大量的不确定度样板评定中,用混合法的例子,一个也没有。你是不是把最大允许误差MPEV或准确度等级或误差范围或准确度,当成“不确定度”了?




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